Kommer vi att kunna använda det här i verkligheten, majjen?
I was a conceptual and mathematical realist since about 1925. I have never held the view that mathematics is syntax of language. Rather this view, understood in any reasonable sense, can be disproved by my results.
-Gödel
Jag brukar ofta försöka att vara pedagogisk på den här bloggen. Några av de pedagogiska principer som jag försöker att följa är att konkretisera det abstrakta, personifiera det opersonliga, att skapa relationer till det ointressanta och att göra historier av det kaotiska.
Vår hjärna är byggd för att hantera konkreta saker. Det är lättare att hantera det abstrakta om vi väljer att tolka det som konkret.
Det går alltid att hitta konkreta exempel på all matematik som man vill lära ut. En god lärare klarar också av detta.
Att lösa ett problem i taget är att tänka konkret. Att lösa flera problem på en gång är att tänka abstrakt.
Detta leder bl.a till att det finns ingen tydligt skiljelinje mellan ren och tillämpad matematik.
Jag har delvis svårt att ta till mej matematikundervisning eftersom de nybörjartexter som jag hittar är formalistiska medan jag är en matematisk realist. Jag skulle föredra om matematisk formalism kallades för matematisk skepticism eller matematisk nihilism.
Realism betyder bl.a att matematiska fenomen är aldrig identiska med sina definitioner, som så ofta hävdas. Man bör alltid räkna med att det finns något okänt hos varje matematiskt fenomen.
Matematiska objekt visar sina olika sidor och egenskaper när de sätts i olika sammanhang, inte när de isoleras maximalt.
Istället för att ge olika konkreta exempel på en matematisk princip för att visa hur den dyker upp i olika sammanhang så ges man en abstrakt regel att nöta in utantill därför att det finns ingenting att ”förstå”. Detta visar åtminstone att såna lärare öppet påstår sej inte ha förstått nånting.
Oavsett om formalismen är sann eller inte så mynnar den åtminstone i dålig pedagogik.
Inte ens de grundläggande siffrorna vet vi allt om. ”Ett” och ”noll” är väl så enkelt och utforskat som det kan bli? Matematikerna har dock nyligen upptäckt att ett inte är ett primtal och att noll är ett jämt tal.
Kurt Gödel var matematisk platonist, WVO Quine var matematisk empirist och Anders Tegmark är en matematisk monist. Alla dessa räknas som varianter av matematisk realism. Quine har jag tidigare skrivit om och Gödel kommer det snart mer om.
Anders Tegmark anser ju att alla matematiska former har fysisk existens, men i olika universum eftersom de inte kan existera i samma fysiska universum samtidigt. Så för honom så är matematiken en grund för fysiken. Nu så delar jag inte exakt hans teori men han är ändå en relativt känd fysiker som anser att matematiken är reell och att detta är viktigt för fysiken och kosmologin.
Matematiken är för mej en objektiv verklighet. Logicism/konstruktivism/formalism o.dyl. funkar dåligt för mej. Den gör matematiken helt platt och livlös. Per definition meningslös. Egentligen så skulle det inte kunna finnas något okänt i matematiken att forska i om konstruktivismen eller logicismen vore sann. Om hela matematiken vore en enda stor tautologi så vore den helt ointressant och helt oanvändbar. Att göra matematiken till en stor tautologi är idag möjligen ett framtida mål, inte ett faktum.
Logicismen nämns ibland som ett alternativ. Den skapades urspungligen av Frege och innebär att matematiken är härledbar från formell logik. Frege själv tycks ha haft en filosofiskt "realistisk" syn på logiken. Den ursprungliga logicismen är motbevisad men det finns neo-logicister eller neo-Fregenister som vill förespråka och förnya projektet även idag.
Formalism är närbesläktat med matematisk fiktionalism, konventionalism, psykologism, intuitionism och konstruktivism. Det finns även sociologer som hävdar att matematiken är en skapelse av samhället och marxister som anser att matematiken har förvridits av klassamhället. Dessa kan vara inspirerade av t.ex Wittgenstein eller Durkheim.
Den bortre frontlinjen inom teortisk fysik skulle kunna vara sökandet efter m-teorin och man har sett intressanta överrensstämmelser med ett esoteriskt område inom den avancerade matematiken: ett matematiskt objekt som kallas E11. Eftersom bägge dessa områden är mycket svårutforskade så går utvecklingen långsamt men det låter mycket intressant.
M-teorin är ju en förmodad teori som förenar alla de olika strängteorierna. I strängteorierna är allt vibrerande strängar och olika partiklar får sina olika egenskaper främst från hur strängarna vibrerar.
Inom algebra så kan bara det komplexa planet med komplexa tal användas för att lösa alla algebraiska ekvationer, inte naturliga tal eller nått sånt. Det komplexa planet skulle kunna tolkas som att objekt bara är specialfall av vågor.
Fourieranalys är en av de mest användna teknikerna och den beskriver vibrationer. Så verkligheten verkar i hög grad beröra oss som vibrationer.
Så på flera olika sätt så verkar matematisk forskning vilja antyda att vibrationer är något grundläggande för vår omvärldsförståelse.
En annan intressant idé är att relatera matematikens filosofi till filosofins matematik, som jag har skrivit något litet om här.