Hur imaginära är imaginära tal?
Alla kan vi räkna; 1, 2, 3 osv.
Men inte alla känner till att de där kallas för de naturliga talen.
Ska man bara använda naturliga tal så kan man räkna med plus och gånger men det kan bli problem om man vill använda minus eller delat med.
Tar man 2 minus 3 så får man t.ex inget "naturligt tal" utan ett "negativt tal".
De positiva och negativa heltalen kallas tillsammans för "integers".
Tar man 2 delat med 3 så får man inte heller något "naturligt tal", men inte heller en "integer".
Man får "2/3" som kallas för ett "rationellt tal", eftersom "ratio" ursprungligen betyder proportioner.
Försöker man att dela 10 med tre så kan reslutatet inte uttryckas fullständigt i decimalform eftersom man då vore tvungen att skriva oändligt många treor: "3,3333…". Däremot kan man skriva "10/3" vilket på sätt och vis är ett mer fullständigt svar.
Roten ur två kan däremot inte skrivas fullständigt varken som bråk eller i decimalform. Roten ur två innehåller oändligt många decimaler som inte upprepar sej. Sådana tal räknas inte till de rationella talen utan kallas för reella tal. Andra liknande tal är "e" och "pi". Alla rationella tal räknas som en del av alla reella tal. De reella talen som inte är rationella kallas för transcendentala.
Med hjälp av de reella talen kan vi nu göra alla möjliga matematiska beräkningar, utom en. Vi kan fortfarande inte ta roten ur minus ett. När man lär sig grundskolematte så får man ofta höra att det inte går att dra roten ur minus ett, och förklaringen verkar ju övertygande.
Ett negativt tal kan liknas vid ett hål.
Tag minus ett plus minus ett så får du ett dubbelt så djupt hål, alternativt två hål brevid varandra.
Ett minustecken innebär dock också att man gör något till sin absoluta motsats.
Tar man ett hål en gång så får man ett hål.
Tar man ett hål minus en gång så betyder det att man tar motsatsen till ett hål en gång och får ett positivt objekt istället.
Så minus ett gånger minus ett blir plus ett.
Man tycks inte kunna ta roten ur ett negativt tal.
Tar man ett tal gånger sej självt så får man alltid ett positivt svar.
När man insåg detta så insåg man dock också att man ibland behövde dra roten ur negativa tal. Vad är svaret på roten ur minus ett? En paradox.
Så man uppfann det imaginära talet. Men om ett negativt tal är ett hål, hur ser då ett imaginärt tal ut? Såväl objekt som hål kan beskrivas som sammanhang av relationer. Ett imaginärt tal måste också vara något sammanhang av relationer. Komplex matematik används ofta för att beskriva processer, inte minst periodiska funktioner. Ett komplext tal har en reell och en imaginär del. i är symbolen för det imaginära talet.
Vad negerar sej själv när man applicerar det på sej själv? Ljud och andra vibrationer negerar ju sej själva om de förskjuts på rätt sätt. Ett imaginärt tal materialiserat kanske blir en stående våg eller nått sånt. Vi har inte längre objekt och antiobjekt (hål) utan vågor. Enl. kvantfysiken så har alla partiklar både partikel- och vågegenskaper.
Vågorna slår mot stranden. Ibland är de där, ibland inte. De existerar genom att negera sej själva, annars vore de inte vågor. Oscilliationer är paradoxer utagerade i tiden.
Naturliga tal beskriver en värld av objekt.
Integers beskriver en värld av objekt och deras motsatser, som vi kan kalla "antiobjekt" eller "hål".
Rationella tal kan liknas vid objekt med delar.
Reella tal beskriver en kontinuerlig värld utan klara gränser mellan objekt. 0,9999…=1
Och beskriver komplexa tal en värld av vågor där objekt är specialfall av vågor?
Det komplexa planet är den första algebraiskt slutna mängden. Det finns ingen algebraisk uträkning som kräver mer än det komplexa planet. Detta kallas algebrans fundamentalsats.
De komplexa talen innefattar alla de övriga talmängderna och pekar inte nödvändigtvis vidare mot nya talmängder, som de tidigare talen gjorde. Det finns mer avancerade tal, "hyperkomplexa" tal som "quarternioner", men de har ganska liten praktisk användning medan komplexa tal har en mycket stor praktisk användning.
Komplexa tal kan beskriva rotation i två dimensioner mycket bra medan hyperkomplexa tal kan beskriva rotation i tre eller högre dimensioner. Hyperkomplexa tal har t.ex användning inom kvantfysiken.
Komplexa tal fångar bl.a vissa egenskaper hos trigonometri och används därför bl.a flitigt i sammanhang med trigonometriska funktioner, som fourieranalys, och bl.a i samband med elektricitet och magnetism. Komplex analys är en naturlig vidareutveckling av analys. Komplexa tal är också fundamentala för kvantmekanik. "Konformal maps" förenklar svåra ingenjörsproblem genom att tolka tredimensionella problem som tvådimensionella.
Förutom sin praktiska användning så förekommer det komplexa planet även flitigt inom högre matematik som mest intresserar matematiker.
Riemanns zätafunktion, elliptiska funktioner och betafunktionen hör till det komplexa planet.
Vissa fraktaler som mandelbrootmängden och juliamängderna hör till det komplexa planet.
Komplexa tal är via inverterad geometri kopplad till riemannsfären och kartografi.
En del människor envisas med att anse att endast de naturliga talen har någon fysisk eller metafysisk motsvarighet. Hade vi bara haft de naturliga talen så hade dock vår matematik fungerat mycket dåligt i verkligheten.