Kalkyl; dynamik och determinism
Jag hoppas att mina läsare har en vag aning om Zenons paradoxer från antikens Grekland. De gick ut på att på olika sätt bevisa att rörelse och förändring var en omöjlighet. Som t.ex "Akilles och sköldpaddan".
Akilles kan aldrig hinna ikapp sköldpaddan eftersom han alltid måste hinna halvvägs till skölpaddan först och i princip så finns det ett oändligt antal "halvvägs" som Akilles först måste förbi innan han hinner ikapp sköldis.
Aristoteles lösning var att ju kortare dessa avstånd var desto kortare tid att överbrygga dem. Detta är en bra ansats även om det inte fullbordar lösningen.
Grekernas matematik innehöll varken nollan eller oändligheten.
Om du tar ett steg som är 40 cm och sen ett steg som är 20 cm och sen ett steg som är 10 cm osv så kommer du aldrig att komma längre än 80 cm från utgångspunkten. Detta är gränsvärdet. En oändlig process ryms inom ett ändligt värde.
Insikten att en oändlg process kan leda fram till ett ändligt slutresultat är grunden för calculusen (och analysen).
Arkimedes tycks ha uppfunnit infinitesimaler och calculus redan under antiken, men detta glömdes bort och man var tvungen att uppfinna dem igen.
Viktiga principer återupptäcktes och vidareutvecklades av kineser och av muslimer men fick inget varaktigt inflytande.
Bonaventura Cavalieri, John Wallis, Isaac Barrow, James Gregory och Pierre de Fermat gjorde viktiga insatser innan Newton och Leibniz under sent 1600-tal började bråka om vem av dem som var först.
"Calculus" är en benämning på både differential- och integralkalkyler, som på ett sätt kompletterar varandra. Calculus beskrivs som en matematik för att beskriva förändring. Calculusen föreställer sej en oändlig process vilket senare skulle bli grunden för den matematiska analysen.
En differentialkalkyl räknar ut derivatan som är förändringshastigheten i ett ögonblick. En integralkalkyl räknar ut hur mycket som totalt har förändrats, t.ex hur mycket vatten som har runnit under bron. Calculus är förändringens matematik.
Förändring och framtid verkade nu bli nånting beräkningsbart och förutsägbart. Med calculusen införs både dynamik och determinism.
Newton och Leibniz räknas som calculusens uppfinnare. Deras dispyt är allmänt känd. Deras verk förenades av Euler, inte bara historiens mest produktive matematiker utan enastående på fler sätt än så. Euler och Cauchy skapade den matematiska analysen och funktionsläran (m.m.) Analys kallas alla oändliga matematiska processer. Analysen och funktionerna skulle få enorm praktisk betydelse. Utan Euler så hade ingenjörerna fått gå hem.
Newton såg i integralkalkylen en förening av rörelse och form, Liksom han i första mekaniska satsen jämställde likformig rörelse med att vara i vila, säkert inspirerad av galileisk relativitet.
Calculusen kopplades omgående till Descartes nya analytiska koordinatsystem. Om man har en kurva i en graf så kan man beräkna förändringshastigheten genom att räkna ut hur mycket kurvan lutar i en viss punkt. Det är lätt att räkna lutningen mellan två punkter och om man för dessa närmare varandra längs kurvan så når de till sist varandra.
Fast det är inte tillåtet. Punkterna måste komma så nära varandra som möjligt men de får inte förenas. Ju närmare punkterna kommer varandra så ser man dock snart att processen närmar sej ett gränsvärde.
Newton och Leibniz räknade dock istället med infinitesimaler, som ska vara mindre än något positivt tal men ändå större än noll.
Infinitesimalen kritiserades hårt av Berkeley i "The analyst" som kallade den "the ghosts of departed quantities." Hans kritik var i princip korrekt och infinitesimalerna togs senare bort och ersattes av gränsvärdesbegreppet. Ännu senare så återinfördes de igen.
Infinitesimalerna skulle kunna vara en inspiration för Leibniz monader. Försvinnande små entiteter som sammanfattar en utveckling.
Även mängden förändring under kurvan kan sammanfattas av en gränsvärdesprocess.
Genom att beskriva kvantitativ förändring på x-axeln och tiden på y-axeln banade man väg för att 250 år senare tolka tiden som den fjärde rumsdimensionen.
Calculus var den moderna matematikens första viktiga uppfinning. Idén om det oändligt lilla är här viktig. Calculus beskriver för första gången förändring och dynamik matematiskt.
Detta bidrog även till att göra determinismen populär.
Matematikern Laplace postulerade i slutet av 1700-talet ett tankeexperiment där en demon vet läget, hastigheten och riktningen hos varje partikel i universum och som därför borde kunna förutsäga framtiden för allt i universum, eftersom universum utvecklades enligt strikt deterministiska lagar.
Senare kopplades dynamiken till trigonometri när periodiska förändringar visade sej beskrivas av sin, cos och tan. I början av 1800-talet tycks Hegel beskriva sin dialektik som en sorts dynamisk trigonometri. Leibniz intresserade sej även för den kinesiska I CHING som enl. NE förutsäger "ödets cykliska förändringar".
I början av 1800-talet så varnade prästen Malthus för överbefolkningens domedag, vilket ingen dittills hade sett som något större problem. Enligt honom så utvecklades dock samhällets produktion linjärt medan befolkningsökningen följd en "geometrisk kurva" dvs nånting i stil med en andragradskurva. Så samhällets ökade produktion skulle aldrig kunna tävla med samhällets ökade behov. Enligt honom så stod mänsklighetens enda hopp till sexuell avhållsamhet och minskade barnkullar, men så var han också präst.
Hittills så har samhällets produktion mycket väl kunnat hålla jämna steg med befolkningsökningen. Problemet är snarare att vi lever i en ändlig värld med ändliga resurser och att tillväxten inte kan fortsätta för evigt.
Liknande tankar fanns i mitten av 1800-talet. Ekonomin kallade den pessimistiska vetenskapen därför att alla förutspådde att såväl vinst som tillväxt naturligt skulle komma att avta med tiden. Det fanns ett gränsvärde för ekonomisk tillväxt. J.S. Mill hoppades att när samhället i framtiden skulle tvingas att vänja sej vid att leva utan tillväxt så skulle förhoppningsvis ett annat samhälle kunna växa fram, ett mer stabilt och harmoniskt än dagens samhälle.
Marx ekonomiska uppfattningar påminnde om Mills och andra borgerliga ekonomers men Marx kombinerade brittisk ekonomi med tysk filosofi och fransk socialism. Under 1900-talet så har vi istället fått den eviga tillväxtens evangelium, ackumulation som religion.
Partiella integralfunktioner förenade det viktigaste hos matematiken och fysiken under hela 1800-talet. Detta har kallats den västerländska civilisationens höjdpunkt, när Europa behärskade världen och den vetenskapliga världsbilden började verka färdig.
Differentialgeometrin använder differentialkalkylens metoder på geometriska objekt. Differentialgeometrin inspirerade via Riemanns mångfalder topologins utveckling.
Även om calculus och analys på kort sikt främjade determinismen så upptäktes senare att inte alla system var förutsägbara ens om deras initialtillstånd var kända. Detta skulle leda till studier av kaotiska system; en ny nivå av dynamik. Även den nya kvantmekaniken underminerade determinismen. Sannolikhetskalkylen utvecklad av Pascal har istället fått bredare och bredare användningsområden.
Matematikens utveckling har gått från det statiska till det dynamiska, från det begränsade till det oändliga, från entydiga tillstånd till sannolikheter, från ordning till kaos, från det lågdimensionella till det högdimensionella, från det konkreta till det abstrakta.
Newton och ockultismen
"Newton was not the first of the age of reason, he was the last of the magicians"
-J.M. Keynes
Keynes hade som hobby att forska om Newton och överaskade världen med en ny bild av denna naturvetenskapens stora ikon.
Newtons intressen var inte helt unika i hans samtid men om nånting så var han värre än de flesta.
Tack vare sin egen fördelsedag 25e dec så trodde han sej vara en av få utvalda som kunde få insikt i tillvarons mysterier. Vilket gör det lätt ironiskt att vissa ateister ibland säger happy newtonmas istället för happy chrismas. Enligt vår kalender var han dock född 4 jan.
Han inspirerades allra först att fördjupa sej i matematik för att bättre förstå ett diagram i en astrologibok.
1666 var hans annus mirabilis när han fick lite tid över från utbildningen att studera vad han ville och grundade vetenskapen för århundraden frammåt.
Hans varaktiga insatser består i gravitationsteorin,
analytisk mekanik,
integralkalkyl,
färglära/optik.
Han såg i integralkalkylen en förening av rörelse och form, Liksom han i första mekaniska satsen jämställde likformig rörelse med att vara i vila, säkert inspirerad av galileisk relativitet.
Efter att Principia utkommit 1687 sjönk han ner i depression och skulle i fortsättningen ägna sej mindre åt det som vi menar med naturvetenskap.
Som chef för myntverket skapade han även ett nytt monetärt system som skulle komma att gälla i 150 år.
Hans ockulta intresse inspirerade nog hans vetenskapliga forskning mer än tvärtom. Under hans tid så var ännu den officiella världsbilden rätt aristotelisk, vilket bl.a innebär att matematik inte var så viktigt. Det var ockultister och platonister som införde matematiken i den moderna vetenskapliga världsbilden.
Newton ansåg att hans matematiska och naturvetenskapliga upptäckter även var kända under antiken, speciellt av Pythagoras. Det var inte ovanligt i hans samtid att tro på uråldrig visdom. I dag anses Newton banbrytande för att han gjorde sej av med antika tankesätt men det var inte hans egen uppfattning.
Det har länge ryktats att Newton skulle ha varit frimurare eller ha varit med i andra hemliga sällskap och hans ockulta intressen och vänskapskrets understödjer möjligheten av detta, men det har aldrig bevisats slutgiltigt.
Newton var bevisligen mycket influerad av Rosencreuzarna. Rosencreuzarna hävdar att han var medlem i deras sällskap vilket han själv aldrig sa eller skrev. Det är dock inte otänkbart.
Newton hade egna religiösa uppfattningar som var strängt förbjudna under hans livstid. Bl.a. så förnekade han treeningheten. (precis som Swedenborg och Göthe fl.)
Newton var en orginell och bångstyrig tänkare som utvecklade en egen version av kristendom men ateism tycks aldrig ha fallit honom in att överväga.
Newton ägnade även mycket tid åt bibeltolkning, sökandes efter hemliga budskap, och kom bl.a. fram till att Jorden inte skulle gå under förrän tidigast 2060. Han sökte även efter hemlig visdom i antik arkitektur. Han intresserade sej även mycket för antik historia.
Newtons vetenskapliga verk kan ha varit av mindre personlig betydelse för honom, eftersom han mer intresserade sej för att återupptäcka antikens visdom. i den meningen så är det inte helt korrekt att kalla en rent mekanisk världsbild för en "newtonsk världsbild."
Gud hade skapat världen som var komplicerad och intrikat men som ändå behövde en hjälpande hand av Gud ibland. Hans världsbild innehöll även det övernaturliga.
Newtons övernaturliga intressen är även intressanta för hur han egentligen tänkte om och såg på naturvetenskap. Han utgick inte från någon naturvetenskaplig världsbild utan löste vetenskapliga problem "lokalt" på enklast möjliga sätt. Han tycktes ha en positivistisk och pragmatisk inställning.
Hans indelning av ljusspektrat i sju grundfärger skedde på ockult/estetisk grund, efter de sju grundtonerna i musikskalan. Han kunde ha sagt att det var fem eller tio grundfärger så hade folk trott honom.
Berkeley kallade hans gravitationsteori för ockultism eftersom den beskrev en oförklarlig verkan över avstånd, och det var faktiskt ett ovanligt resonemang i hans vetenskapliga samtid. Det är inte otänkbart att hans ockulta intresse kunde ha hjälp honom att tänka utanför den gängse vetenskaliga ramen. Hans positivistiska inställning kan ha betytt att allting inte behövde förstås, bara det fungerade.
Han ägnade mycket tid åt och skrev stora mängder om alkemi, sökandes de vises sten och ett livselixir. Han hade 169 alkemiska böcker när han dog och tros ha haft ännu fler. I sina alkemiska studier så ignorerade Newton Boyles kemiska forskning som var det mest framsynta inom kemi i Newtons samtid. Alkemi var även förbjudet i england under Newtons tid. Det är inte omöjligt att Newtons nervösa sammanbrott som varade 18 månader kan ha berott på förgiftning av bly eller kvicksilver eller något annat relaterat till hans alkemiska intresse. Hår från hans lik har visat sej ha förhöjda halter av bl.a kvicksilver, bly och arsenik.
Att han ibland beskrivs som en något otrevlig peron kan delvis ha berott på kronisk förgiftning, men redan som ung så var han tillbakadragen och inte så social. Han uppvisade även paranoida drag och anklagade Leibniz för att stjäla från honom. Åandrasidan så hävdade Robert Hooke envist att Newton hade stulit idéerna till gravitationsteorin från honom.
Var det nån som sa "amplituhedron"?
Grassmann var ett universalgeni i början av 1800-talet som under sitt livstid bl.a var uppskattad som språkvetare. Hans matematiska forskning var dock så före sin tid att resten av matematiksamhället inte kom ikapp honom förrän i början av 1900-talet. Han kom bl.a tidigt fram till att rummet inte alls måste ha tre dimensioner.
Hilbertrymden har ett oändligt antal dimensioner, eller så många som man behöver; den är n-dimensionell. Kvantmekaniken formulerades inom hilbertrymden och har sedan dess utspelats inom den. Grassmann tycks vara ett alternativ till detta.
En "grassmannian" är en typ av matematiskt objekt som Grassmann studerade. Penrose var den förste som översatte Grassmanns arbete till engelska och spred inom fysiken.
1967 skapade Penrose också twistorteorin som ett möjligt utkast till att förklara kvantgravitation. Istället för minowskirymden som fysik vanligtvis antas utspelas i, så satte Penrose fysiken i twistorrymden istället. En del fysiska förlopp föreföll enklare att beskriva i twistorrymden än i minowskirymden.
Väldigt länge så hände lite med detta. 2003 så tog Edward Witten upp twistorteorin igen och skapade twistor string theory. Han kunde därmed eliminera flera dimensioner inom strängteorin, utom de fyra som twistorteorin har. Tidigare hade twistorteorin bara fungerat tillsammans med klassisk relativitetsteori så detta betraktades som ett genombrott. Witten övergav dock efter ett tag twistorsträngteorin och sa "I think twistor string theory is something that only partly works."
Andra fortsatte dock att forska på twistorteorin. Den stora nyheten blev ett papper publicerat 21/12 2012 där man använde en "positiv grassmannian" för att beräkna "scatttering amplitudes" på ett nytt och mycket effektivare sätt än tidigare.
Vad är det man räknar ut? När partiklar träffar andra partiklar så uppstår nya partiklar och spridningsmönster. Från början så sköt man partiklar på guldfolie och sånt. Nuförtiden så låter man enstaka partiklar frontalkollidera med andra enstaka partiklar. Nya partiklar uppstår och skjuter iväg åt olika håll och detta går alltså att förutse. Tidigare var det mycket krångligt men nu så har det blivit mycket lättare.
Detta ersätter Feynmanndiagram på ett mycket mer effektivt och ekonomiskt sätt. Därmed så behövs inte heller några virtuella spökpartiklar i den nya metoden. Det innebär alltså en enorm effektivisering praktiskt och även en viktig "effektivisering" teoretiskt.
Det behövs både grassmannians och twistors och Penrose har tidigare varit inblandade i bägge.
Än så länge så fungerar detta bara inom en hypotetisk modell, som visserligen är lik verkligheten men som inte är identisk med den. Om metoden fungerar bra i modellen så är det dock troligt att den går att anpassa till verkligheten också.
Det som kallas "amplituhedron" tycks vara en vdareutveckling av denna metod, men det finns tydligen inga vetenskapliga papper ute om detta ännu. Det finns en föreläsningsvideo från augusti 2013. En amplituhedron är en slags generalisering av en positiv grassmannian. En annorlunda polytop för varje beräkning.
Ingen verkar riktigt ifrågasätta att det existerar en ny effektiv metod. Problemet är snarare hur detta ska tolkas.
Kontroversen gäller inte så mycket vad som redan har gjorts utan mera vad detta skulle kunna leda till. De mest positiva säger att detta på sikt skulle kunna revolutionera fysiken, medan de mer återhållsamma tycker att detta låter väldigt överdrivet, svärmiskt och ovetenskapligt.
Det brukar alltid förutsättas ett ramverk av tid och rum när man gör fysiska beräkningar, men här så förutsätter man inte tid och rum. Dessa uppstår i processen. Själva metoden innehåller också vissa geometriska objekt, amplituhedradon, vars fysiska tolkning är oklar.
Antingen är detta något som existerar på något fysiskt sätt, men då existerar det utanför vår uppfattning om tid och rum, eller så existerar det egentligen inte men då är det oklart varför dessa nya beräkningar fungerar alls, och dessutom så fungerar de häpnadsväckande bra.
I teorin.
Något om Meillasoux och Smolin och sånt
Man kan säga att jag inte tror på att utgå från första principer, åtminstone inte från början. Då kommer man inte speciellt långt alls.
Däremot så tror jag mycket på att spekulera kring empiri. Man kan och bör bygga hela metafysiker kring empiri. Men första principer kan man egentligen bara nå genom att gå baklänges från empiri.
Som Descartes t.ex när han genom systematiskt tvivel försökte komma fram till vad som inte kunde betvivlas. Då fann han i första hand sin egen existens som den grundläggande principen (och i andra hand yttervärlden och Gud. Detta resonemang återupprepas senare av Kant och Fichte. Det påminner även om resonemang inom hinduismen.)
Detta betyder dock inte att din existens är grundläggande för att det ska finnas något öht. Bara att din existens är grundläggande för att du ska kunna veta något öht.
Erfarenheten skulle dock ha kunnat vara annorlunda och då kanske man hade kommit fram (eller tillbaka) till andra grundläggande principer. Är världen då radikalt kontigent? Nja, erfarenheten är radikalt kontigent, åtminstone innan erfarenheten.
När erfarenheten har förvandlats till en värld så är den inte radikalt kontingent längre. Om världen ändras radikalt på ett oväntat sätt så var vi inte i den värld som vi trodde att vi var i. Ovanstående cartesianska meditation påminner mej om Meillasoux, hädanefter kallad "Messy".
Messy hävdar radikal kontingens men han gör det på ett franskt sätt och beskriver sin filosofi som en inverterad platonism och inverterad hegelianism.
Mot "korrelationismen" så hävdar han att vi har tillgång till världen i sej, men mot metafysiken så hävdar han att världen i sej är radikalt laglös. Och att detta är nånting som vi kan veta.
Epistemologisk realist och metafysisk nihilist ungefär.
Snarare än att påstå vissa saker som vissa vetenskapsmän säger så påstår han medvetet motsatsen till vad Platon och Hegel säger. Detta är antagligen det som har fått Brassier att backa ifrån honom. Först var Brassier intresserad och översatte hans bok, men Brassier har med tiden rört sig mot en mer okonstlad scientistisk ståndpunkt.
Radikal laglöshet innebär att lagar mycket väl kan uppstå - och försvinna. Inte ens laglösheten är pålitlig. Att det inte finns någon gud är ingen garanti för att det aldrig kommer att uppstå någon gud. (Antagligen är detta raka motsatsen till vad Platon eller Hegel säger någonstans.) Allt kan hända. Allt vi tror att vi vet kan visa sej vara fel. Inte ens logiken går säker, hävdar Messy.
Messy vill "tro på Gud för att han inte existerar". I en fyrfältstabell så tycks detta vara den enda omöjliga kombinationen. Hans metafysiska position tycks vara likartad: Kunskap är möjlig, trots att världen är laglös.
En sak som tycks vara absolut är framtidens absoluta ovetbarhet.
Messy tror inte på något multiversum eftersom allting kommer att hända i ett sånt, och därmed så finns det en slags ordning och framtiden är på sätt och vis förutsägbar. Det finns även en slags förklaring till varför vårt universum ser ut som det gör - att det är en del av ett spektrum av möjliga universa. Sånt gilar han inte.
Det finns även inom vetenskapen några förespråkare för olika slags laglöshet.
Eric Verlinde entropic approach - Från början säger han bara att gravitationen inte finns, det är bara ung. friktion. Utvidgat så finns ingenting. "No fundamental fundamental forces och forms of matter whatsoever."
Bootstrapmodellen hade inga fundamentala partiklar
Stochastic interpetration - vissa grundläggande kvantlagar går att härleda ur ren slumpmässighet. Börja alltså bara med ren slump så uppstår lagar och universum. Som matematiskt samband så är det bevisat.
I MVT så är multiversums sammanlagda informationsmängd påsättochvis noll.
Även nobelpristagaren Ilya Prigogine tycks ha besläktade idéer.
Smolin har hela sin karriär skissat på alternativ till de största teorierna. Han är inte minst inblandad i Loop Quantum Gravity, men har även gjort lite annat. Smolin har en gång utvecklat teorin att universum utvecklas evolutionär för att skapa svarta hål som i sin tur skapar nya universum. I år gav han ut en mer översiktlig bok där han kritiserar vissa grundläggande filosofiska antaganden hos mycket av samtida fysik; Time reborn.
"Antingen är tiden verklig, eller så lever vi i ett matematiskt universum."
-Smolin
Smolin hävdar även att fysikens lagar kan utvecklas med tiden och hänvisar till en liknande uppfattning hos CS Peirce.
Smolin har skrivit att alternativ och mångfald inom forskningen är bra, och det kan jag helt hålla med om, men är det verkligen bara det som är hans motivation?
Delvis så kan man i detta se ett försök att återupprätta en mer klassisk materialism än vad fysiken tycks kunna erbjuda idag. Stochastic interpretation tycks extra bra att förena med Bohms causal interpretation, Smolin har tolkat sträng och m-teorin som hidden variables, (vilket wikipedia klassifiserar som digital physics), Meillassioux kallar sin filosofi för "speculative materialism".
Smolin och Messy är skeptiska till MVT och multiversum.
Smolin vill återigen skilja mellan tid och rum, vilket var vad Bergson diskuterade med Einstein och förlorade. Einstein introducerade blocktime i modern fysik. Den förste som uppfann idén inom västerländsk filosofihistoria tycks dock ha varit Augustinus.
Tidsdimensionen är asymmetrisk. Informationsflödet är enkelriktat och för Einstein så ledde detta till illusionen att tiden går.
RQM upplöser det universella tidbegreppet. Tid är bara en slags relation mellan objekt. Detta tycks vara en slags radikalisering av einstein. OOO gör något snarlikt.
Klassisk materialism utspelade sej inom tid och rum. Dessa var absoluta. Messy och Smolin tycks åtminstone vilja återupprätta tiden som något absolut.
Det är klart att detta är attraktiva teorier eftersom de försöker att få nånting ur ingenting. Vilket vore den ultimata förklaringen. Att förklara ordning med mera ordning lämnar frågan varför det finns ordning öht. Att förklara världen med Gud tycks innebära att man förklarar nånting komplicerat med nånting ännu mer komplicerat.
"The theory of evolution by cumulative natural selection is the only theory we know of that is in principle capable of explaining the existence of organized complexity."
-Dawkins
Men:
Man behöver inte återuppväcka ett föreinsteinianskt tidsbegrepp för att framtiden ska vara okänd. Det räcker att vi är rätt begränsade varelser som är dåliga på att förutsäga den. Samma resultat.
Det är även teoretiskt möjligt att låta universums lagar utvecklas med tiden i ett einsteinianskt universum. Tänk bara i metanivåer.
Både/och. Inte antingen/eller. Falsk motsättning.
Framtiden är framförallt potentialen av det okända, förmågan att bli överraskad. (Vilket även ooo hänvisar till.)
Jag menar att vi alltid kommer att kunna bli överraskade bl.a därför att kunskap aldrig kan vara något absolut. Ett subsystem kan aldrig perfekt modellera ett supersystem osv. Kunskap och ignorans är två sidor av samma mynt.
Men Messy verkar hävda att hans ignorans är absolut kunskap.