Attractive infinity
Mera mereologi
Även om delar och helheter har diskuterats sedan det antika Greklands dagar så brukar det heta att Husserl uppfann mereologin som senare främst har utvecklats av programmerare. Trots att den formella mereologin är en del av matematiken, en sorts "proto-geometri", så har den utvecklats av logiker, ontologer, ingenjörer och datavetenskapsmän, speciellt med inriktning mot artificiell intelligens. Husserl hävdade aldrig att matematiken borde grundas i mereologi snarare än mängdlära.
Även Whitehead gjorde en tidig insats inom mereologin när han uppfann mereotopologin, antagligen inte influerad av Husserl som han inte verkar ha läst. Whitehead planerade en fjärde del av Principia Mathematica, om geometri, som aldrig genomfördes. I haans efterlämnade korrespondens verkar hans avsikter ha varit essentiellt mereologiska. Senare publicerade han sina mereologiska tankar från och med 1916, "La Theorie Relationiste de l'Espace". Om man blandar in topologiska tankar om gränser och förbindelser med mereologi så får man mereotopologi och Process and reality från 1929 innehåller en hel del informell mereotopologi.
Trots att både Husserl och Whitehead visste en del om matematik i den högre skolan så var det en tredje person som fick skapa den matematiska mereologin. Tyvärr skapade Lesniewski mereologin som ett slags alternativ till Cantors mängdlära som han inte alls gillade. Han ville istället ha mereologin som grund för matematiken. Han började publicera texter om mereologi från 1916 och myntade termen "mereologi" 1927.
Detta har lett till den felaktiga uppfattningen att bägge inte kan "gälla" samtidigt och eftersom mängdläran under 1900-talet var varit mycket framgångsrik så har mereologin som matematisk disciplin haft dåligt rykte och försummats. Istället är det programmerare och metafysiker som har ägnat sej mest åt mereologi. I själva verket så kan mycket inom mängdlära omformuleras till mereologi och viseversa. Alfred Tarski och Rolf Eberle är de enda utbildade matematikerna som har skrivit om mereologi.
Medan mängdlära handlar om relationen mellan mängder och deras element så handlar mereologin om den mereonomiska relationen mellan objekt, vilket mest liknar mängders inklusion av andra mängder. Om "parthood" inom mereologin tolkas som "delmängd" inom mängdläran så finns det analogier mellan Zermelo-Fraenkels axiom om mereologi. Ungefär som att det går att skapa en "naiv" mängdlära så går det att skapa en "naiv" mereologi som har paradoxer liknande Russells paradox inom mängdläran.
I utvecklad mereologi så är Russells paradox dock inte något problem som i mängdlära. Lustigt nog så är varje objekt en del av sej själv. Olika objekt i mereologi anses av de flesta kunna kombineras i en större helhet, "sum", och om man i sista hand kombinerar allt som finns i ett objekt, "top", så är det en del av sej själv. Detta är inte oklart som inom mängdläran, där mängden av alla mängder både är och inte är en del av sej själv. Parthood anses oftast reflexivt.
Partiall ordering:
Everything is part of itself (reflexivity)
Any part of any part of a thing is itself part of that thing (transitive)
Two distinct things cannot be part of each other. (antisymmetric)
De flesta som har skrivit om mereologi tycker att "top" är oproblematiskt men däremot inte "bottom", eller postulerandet av atomer utan delar, som man ofta förkastar, efter Lesniewkis förebild.
"We never reach some final layer of tiny components that explains everything else, but enter instead into an indefinite regress of parts and wholes."
"Instead, we have a universe made up of objects wrapped in objects wrapped in objects wrapped in (…)"
En skillnad mellan mereologi och mängdlära är att mängdlära handlar om abstrakta "mängder", samlingar av något annat, som ofta också antas vara "mängder." Mängdlära har ett "abstrakt" bias. Mereologi däremot är neutralt angående konkrethet och abstrakthet och även angående samlingar kontra bara en unik individ med delar.
1930 beskrev Henry Leonard i USA en formell teori om del-helhet-relationen. 1940 hade han och Goodman utvecklat "the calculus of individuals". Goodman och Quine försökte 1947 att härleda de naturliga och reella talen ur calculus of individuals, men lyckades inte så bra. The calculus of individuals är startpunkten för det nya intresset för mereologi från 1970-talet, hos logiker, dataontologer och datavetenskapsmän.
Inom programmering så är objekt-orienterad-programmering ett programmeringsparadigm där mereologi är extra viktigt. Datastrukturer, procedurer och annat kapslas in i prydliga lådor som sedan kan hanteras som legobitar när man programmerar. Man talar om "encapsulation" i "object". Syftet med detta är egentligen bara att göra det lättare för den stackars programmeraren. Objektet föreklar livet för programmeraren genom att ha vissa offentliga egenskaper och vissa privata. Objektet gör sitt jobb under sekretess. När man skapar nya objekt så kan man åberopa redan existerande obekt och låta det nya objektet ärva egenskaper från redan existerande objekt.
Tydligen så är mereologisk essentialism, presentism och "stuff-ism" (ung. anti-objekts-orientering) en rätt problemfri kombination. Kanske av intresse för spinozister och andra vardagsmaterialister.
Även inom generell system teori (GST) så finns det något som kallas "mereologi" och som handlar om systems delar och helheter och gränser.
andra bloggar om
Sannolikhetsteorin och du
Människor har svårt att bedömma sannolikheter. Det har sagts att de flesta former av spel och dobbel bara är som extra skatt för folk utan sinne för proportioner. Hur rädda folk är för olika faror står inte i någon proportion till hur sannolika dessa hot är.
Den matematiska sannolikhetsteorin har bara utvecklats de senaste fyrahundra åren, även om intuitiva tillämpningar har förekommit sen hedenhös.
Sannolikhetsläran har kallats "talens fysik" och det blir ju extra intressant ju mer det verkar som om fysiken i sista hand handlar om information. Pythagoras kanske visste vad han talade om.
Vi lever nu i en sannolik värld. Jag vet inte när det hela började. Jag vet att den antika skeptiska filosofiska skolan med tiden utvecklades till den epistemologiska positionen probabilism, dvs "troligtvis-ism", vilket definitivt har med en sannolik världsbild att göra.
Sannolikhetsrevolutionen började inom samhällsvetenskapen och hasardspelet, spred sig till medicin och biologi och nådde så fysiken i början av 1900-talet. Vanligtvis så brukar radikala revolutioner börja inom fysiken och sedan sprida sig till kemin, biologin osv.
Fermat och Pascal brukar anses vara sannolikhetsteorins grundare med ett verk som publicerades 1654. Decenniet efter så publicerades Gerolamo Cardano's "Liber de ludo aleae" (boken om hasardspel) vilken dock hade skrivits redan på 1500-talet.
Slüssmilch beskrev 1741 i sitt verk Göttliche Ordnung (Gudomlig Ordning) stabiliteten i en mängd olika statistiska kvoter: Döda/döpta, pojkar/flickor osv och tolkade den som ett verk av guds försyn. Redan 1713 hade dock Jakob Bernoulli framlagt den idag aktuella tolkningen av fenomenet, nämligen De stora talens lag.
De stora talens lag - Varför samlas utfallen kring någon förväntad fördelning i längden? Detta är, återigen, inte någon järnhård lag utan en sannolik förväntan. Är inte detta att förutsäga framtiden?
(Fluktuerar statistiken kring en nollpunkt i fasrummet som en gyro gör i det fysiska rummet?)
Termen statistik myntades 1749. Sannolikhetsläran fortsatte att utvecklas. Normalfördelningen blev fast etablerad av Gauss 1809 och Laplace härlede därav Centrala Gränsvärdessatsen. En konsekvens blev minstakvadratmetoden som skattningsmetod. På den vägen har det fortsatt, med regressionsanalys och korrelationsanalys osv. Den nya matematiska vetenskapen visade sej ha stora praktiska tillämpningsområden.
Laplace och Gauss använde Bayesianska resonemang, dvs gav parametrarna sannolikhetsfördelningar på förhand och nyttjade Thomas Bayes formel.
Thomas Bayes (1702-1761), har givit namn åt den bayesiska tolkningen av sannolikhet. Sannolikhetsbegreppet har utforskats grundligt matematiskt men vad betyder det egentligen mer semantiskt?
Frekventialister tillskriver sannolikheter till slumpmässiga händelser enligt deras infallsfrekvens. Bayesier tillskriver sannolikheter till osäkra påståenden, vilket oftare är ett användbart resonemang. För frekventialister har "sannolikhet" ingen mening annat än för att uttrycka relativa frekvenser i ett stort antal observationer. Både Bruno de Finetti och Frank Ramsey formulerade oberoende men samtidigt den bayesiska sannolikheten som "subjektiv grad av tro på ett påstående".
Man kan se en motsättning teoretisk rigiditet och praktisk användbarhet. Bayesisk metod är mer tillåtande och mindre rigid är frekvensialismen men uppnår i praktiken lika hållbara resultat trots det. Det tycks alltså finnas någon form av objektiv överrensstämmelse mellan hur säkra vi är på något och hur ofta det kommer att vara sant, trots att detta i strikt mening är två olika saker.
En del anser att den vetenskapliga metoden är ett exempel på ett tillämpat bayesisk resonemang eftersom nya observationer eller experiment gör tidigare vetenskapliga hypoteser mer eller mindre sannolika. Kan skepticistisk probabilism sägas vara föregångare till bayeusisk analys?
Noga räknat så finns det fler än bara två alternativa synsätt inom sannolikhetsteori. Denna mångfald av möjligheter kan även leda fram till olika tolkningar i tillämpningen.
Inom kvantfysiken verkar snart sagt alla lagar vara av sannolik natur och ingen tvingande i det enskilda fallet. Kausalitet blir då bara ett specialfall av de stora talens lag.
Alla grundläggande fysiska lagar är tidssymmetriska, både i klassisk mekanik och kvantmekanik. Att entropin enligt termodynamikens andra lag tenderar att öka över tiden har använts som en definition av själva tiden - den termodynamiska irreversibiliteten. Men detta tycks i själva verket vara ett statistiskt samband. Vilket innebär att lokala avvikelser kan förekomma. Själva resonemanget förutsätter dock bayesiansk sannolikhet.
Om man antar att kosmos i sin helhet är på väg mot värmedöden så säger detta egentligen ingenting om entropin ökar eller minskar lokalt. Även när tiden går mot oändligheten är det troligt att lokala öar av minskande entropi kommer att förekomma. En hård frekventialist kan inte dra några slutsatser alls i diskussionen.
2002 visade ett laboratorieexperiment ett resultat som inte förutsades av termodynamikens andra lag men däremot av FluktuationsTeoremet. En av flera konsekvenser av FT är att mycket små maskiner, som nanomaskiner eller mitrokondrier, i själva verket kommer att gå baklänges en del av tiden.
Vad är egentligen en sannolikhet, rent ontologiskt? Är det något subjektivt eller objektivt? Är det en epistemologisk konstruktion eller ett metafysiskt faktum? Är det samma sak som en vågfunktion och är en vågfunktion sammanfattningen av alla möjliga utfall i alla möjliga världar? Frågor att fundera kring i ett samhälle som alltmera tycks fokusera på risker.
andra bloggar om
sannolikhet,
sannolikhetsteori,
matematik,
Heh, I said it was exceptionally simple, I never said it wasn't complicated.
Garrett Lisi har presenterat en ny kandidat till en theory of everything. Han utgår från Liegruppmångfalden E8 och identifierar olika symmetrier med elementarpartiklar och krafter. Även gravitationen tycks passa in i mönstret.
Differential geometry is the study of smooth manifolds, usually in many dimensions -- it's calculus on steroids. There are ways of classifying symmetric manifolds, and this links up with all other branches of mathematics; so differential geometry is sort of a hub where a lot of mathematics comes together. Now, there is one manifold in particular -- the largest simple exceptional Lie group manifold, E8 -- that is the most beautiful. The system of roots in the picture I sent you describes the 248 symmetries of E8. What I'm working on is identifying each of the elementary particle fields of the standard model and gravity as one of these symmetries. It turns out that this match is... perfect, as far as I've been able to tell. This model is very new, and there are still things I don't understand about it, but it looks perfect so far. You have to be very careful with these things though, as they can encounter a fatal difficulty at any turn -- and when theory contradicts experiment, or requires unreasonable revision, you have to toss it and move on. But this theory of fitting all the standard model and gravitational fields into E8 is working very well so far.
andra bloggar om
fysik
matematik
forskning
vetenskap
From this moment on
Det finns en koppling mellan Gödels ofullständighetsteorem och datalogins grunder. Alan Turing, datavetenskapens fader, skapade datalogin med sin idé om en universell maskin. Hans teoretiska modell av en universell maskin, Turingmaskinen, kan beräkna allt som går att beräkna, men precis som Gödel så kommer Turing fram till att allt inte går att beräkna/bevisa.
Det finns ett grundläggande problem som kallas the halting problem, som inget program någonsin kan lösa. Given en beskrivning av ett program och en ändlig inmatning, avgör om programmet kommer att stanna eller kommer att köra för evigt, givet den inmatningen. Har man bara Turings resultat så få man Gödels resultat på köpet. Själva kärnan i Gödels ofullständighetsteorem är bara två rader lång. Kruxet är att man först måste ha konceptet med en dator innan man kan ge två-rads-beviset.
Så? Man får ett paradigmbyte inom matematiska bevis från klassiska QED-resonemang till brute force.
Fermats gåta var det sista klassiska problemet och fyrfärgsproblemet var det första som bearbetades med rå datorkraft. 
Andra bloggar om
Från Aristoteles till internet
Det var först med Boole som forskningen i logik gjorde något framsteg efter Aristoteles.
Trots att datorer inte fanns på Booles tid så har han i efterhand kommit att betraktas som en av datalogins grundare. Boolesk algebra är nämligen grunden för all modern datoraritmetik.
Ca 70 år efter Boole så upptäckte Claude Shannon boolesk algebra när han läste en filosofikurs. Shannon visade senare hur boolesk algebra kunde optimera designen av system av elektromekaniska kretsar som användes i telefonkopplingsstationer. Han visade också hur kopplingskretsar kunde lösa booleska algebrauppgifter. Att låta elektriska kretsar lösa logiska problem är grundidén i alla digitala datorer idag. Hade inte Boole funnits så hade någon annan behövt göra hans jobb.
Efter Boole så har den moderna logiken blivit en matematisk logik och betraktas ofta som en del av matematiken. Matematisk logik är också mycket nära relaterat med datorvetenskap.
På denna uppställning ur en föreläsning så kan man se hur olika sorters logik är besläktade med olika sorters programspråk/funktioner.
More than a coincidence?
second-order logic polymorphism Java
Milner
modal logic monads XML
Moggi,Buneman
classical logic continuations Links
Plotkin
Samma författare påstår här att logiska bevis kan betraktas som en sorts program: Proofs are programs.
Java, xml och länkar är element i internet, och det är där vi idag har hamnat när vi har följt forskningstraditionen efter Aristoteles Organon.
andra bloggar om
logik
filosofi
matematik och logik
datavetenskap
empirisk matematik (2)
"Physical insights about Calabi-Yau manifolds, especially mirror symmetry, led to tremendous progress in pure mathematics."
Matematiker utvecklar nya typer av matematik ur tomma intet och gamla former av matematik. Dessa nya former av matematik visar sej ibland gå att använda praktiskt, t.ex för att beskriva nya former av fysik.
Visst låter det ganska vettigt? Men ibland så är det inte alls så.
Inom strängteori och m-teori så har fysikerna flera gånger förekommit matematikerna. 1988 gjorde några fysiker, (Dixon, Lerche, Vafa, Warner) en iaktagelse om att olika Calabi-Yau-former skulle kunna ge samma fysika resultat. Först i efterhand har matematiker konstaterat att olika Calabi-Yau-former kan ha en matematisk spegelsymmetri som kan förklara detta.
Matematikerna försöker ännu att utveckla en matematisk förklaring varför spegelsymmetrin inom calabi-yau rummen existerar.
Brian Greene utvecklade en teori om bristningar i rumtidväven, som handlade om Calabi-Yau-former och hans tillämpade matematik för fysisk forskning kunde sedan översättas till ren matematisk grundforskning. (s.333) Brian Greene som personligen var en av fysikerna som var med och influerade matematiken beskriver händelserna i sin utsökta bok Ett utsökt universum (s.315 -346).
Sålänge som strängteorin krävde 10 dimensioner var calabi-yau-rummen intressanta men när strängteoretikerna började luta åt 11 dimensioner så handlar det egentligen om Joyce manifolds, som är sju-dimensionella och kan förklara de saknade sju dimensionerna mellan de fyra vi upplever och de 11 som ska finnas.
Manifold är t.ex sfärer eller torsos, dvs munkar eller badringar. Sfärer har noll hål och munkar har ett hål. Antalet hål kallas genus och kan vara hur stort som helst. Detta är topologins grunder.
Dessa manifolds kan nu studeras i högre dimensioner. En fyrdimensionell sfär t.ex. Eller en sexdimensionell genus-3-manifold, som jag tror är ett calabi-yau-rum. Att det finns tre familjer av elementarpartiklar kan vara kopplat till tre "hål" i calabi-yau-rummet.
Joyce manifolds är exempel på en sju-dimensionell riemann-manifold. Riemann var ju aktuell i min förra post om empirisk matematik. Einstein beskrev universum som en riemann-sfär, alltså en sorts 4-dimensionell riemann-manifold. På en riemannsfär så blir en rak linje som dras ut tillräckligt långt sluten, som en horisont, en geodesic. Föreställ dej nu detta i sju dimensioner.
Joyce själv beskriver sin forskning ganska kortfattat och lättillgängligt här:
"Much to mathematicians' surprise, the conjectures seem to be true."
Andra bloggar om
matematik
fysik
filosofi
empirisk matematik (del ett)
På senare tid har det dock hänt en del saker som har problematiserat matematikens ställning som ren apriorivetenskap. Kanske började det redan med Euklides parallellaxiom. Det har aldrig haft samma självklara ställning som de första fyra axiomen i hans Elementa. Genom århundraden har matematiker gjort olika försök att bättra på parallellaxiomet.
Det var dock först Gauss, framstående inom både matematik och fysik som gav sej på galenskapen att rent fysisk mäta vinkelsumman i en triangel för att se om det verkligen blev 180 grader. På papperet blev det visserligen det, men det skulle ju kunna finnas en liten avvikelse som bara kunde upptäckas på en riktigt stor triangel. Så Gauss mäter vinklarna mellan tre bergstoppar i Hartz, och kommer fram till att det blir 180 grader. Dock finns det en liten felmarginal, som det tenderar att göra när man ägnar sej åt empiri.
Detta kan låta som en galen övning men faktum är att Einstein skulle ha sagt att Gauss triangel bara var för liten. Ju större triangel vi har desto större vinkelsumma har den. Enligt Einstein så är nämligen universum en Riemannsfär. Riemann, elev till Gauss, var en av de matematiker som upptäckte den icke-euklidiska geometrin, där det antingen finns noll vinklar som gör linjer parallella, eller fler än en parallell vinkel. Riemanns geometri saknar parallella vinklar vilket gör att alla linjer möts till sist om de dras ut tillräckligt långt. Euklides parallellaxiom hade visat sej bara vara ett av flera alternativ.
Såsom redan Gauss anade så innebär detta att man kan bedömma universums form genom att mäta vinkelsumman i en triangel. När Einstein skapade sin Relativitetsteori så använde han sej av riemannsk matematik, med följden att han beskrev en riemannsk fysik för en riemannskt universum. Idga är det snarast en öppen fråga exakt vilken fom vårt universum har och vilken geometri som i sista hand är den rätta för detta universum.
I sin "Kritik av det rena förnuftet" så hade Kant hävdat att tid och rum var apriori-intuitioner.
Påståendet
"two straight lines can neither contain any space nor, consequently, form a figure"
är sant men omöjligt att bevisa analytiskt, hävdar han.
Det är ett exempel på ett syntetiskt-apriori-påstående. Geometrin utforskar vår aprioriintuition av rummets egenskaper. Hade vi ingen apriori-intuition så vore geometri en empirisk vetenskap och geometriska påståenden vore inte universella. Han antar dessutom att universum antingen är ändligt eller oändligt. Inte heller detta är enkelt sant i ett icke-euklidiskt universum.
andra bloggar om
matematik
filosofi
Monstermatematik
Först ut i Sverige var vad jag kan se Vetenskapsnytt. Malin och hennes kommentatorer hade också länkar till engelska sidor som försökte förklara vad det hela gick ut på.
Först därefter reagerade dagspressen. Den första artikeln var inte lika utförlig som Vetenskapsnytts postning. Nu verkar SvD vilja ta igen det.
Idag publicerar de en ny artikel om E8, som är mer genomarbetad, mer pedagogisk och med ny information. Så ska det se ut.
För övrigt så går det inte att söka efter E8 på Knuff.se eftersom söksträngen måste vara minst tre tecken. Men jag tror inte att jag hade hittat så mycket. Det går ju att googla iofs.
andra bloggar om
Holism Hälsa Kreativitet Kaos
Jag tänkte skriva några reflektioner kring James Gleicks populärvetenskapliga bok Kaos. Vetenskap på nya vägar. från 1987 (Bonniers 1988). (ISBN 0749386061) Det är i år tjugo år sedan Gleicks bok Chaos kom ut på engelska.
Den kaotiska revolutionen började inom meteorologin. Naturligtvis hände det saker redan innan Lorentz offentliggjorde sin attracktor 1963, för 44 år sedan, men det var först efter den som saker verkligen började hända.
Några gamla antaganden som kaosforskningen motbevisar:
enkla system beter sig enkelt,
komplicerade beteenden föutsätter komplicerade orsaker och
olika system beter sig olika (s.313)
Alltså, istället:
enkla orsaker kan få komplicerade effekter och
komplicerade orsaker kan få enkla effekter, och
när komplexitet uppstår ur enkelhet så tillkommer egenskaper typiska för komplexiteten som inte finns hos de enklare delarna enbart.
Helheten är inte mer än summan av delarna; helheten är något annat än summan av delarna.
"Viktigast av allt är att komplexitetens lagar gäller universellt, utan att ta någon särskild hänsyn till de byggstenar som ingår i systemet." (s.314)
"... det är en vetenskap om olika systems totalitet ..." (s.17)
"De [kaosteoretikerna] upplever sig leta efter helheten" (s.17)
"... kaosexperter antog att det krävdes ett nytt, globalt synsätt: det tycks ju som om delarna i "ett flimmerhjärta fungerar och ändå går helheten överstyr." (s.293)
"Också något så enkelt som en droppande kran kan ge upphov till ett mönster som är kreativt i evighet." (s.272)
Kaos var ett forskningsfält mellan fysik och matematik som hade inverkan på i stort sett alla vetenskapliga discipliner.
Av de fyra stora revolutionerna inom 1900-talets fysik: kvantfysiken, relativitetsteorin, kaotiken och den supersymmetriska strängteorin, så tror jag att den kaotiska revolutionen kan vara den mest djupgående och nyskapande: den innefattar mest av matematiskt nytänkande.
"Det är paradigmskiftenas paradigmskifte" (s.64)
"Där kaos tar vid upphör den klassiska vetenskapen." (s.15)
Sedan mytologins begynnelse så har världens uppkomst och fortlevnad setts som en strid mellan kosmos och kaos. Även om en mildare syn på motsättningen funnits flera gånger förut i historien så är det först 1900-talet som har kommit fram till att kaos och kosmos egentligen är samma sak. Kaos är oändlig ordning (Shannon?). Kosmos är ett begränsat kaos.
Den mängd information som ett system innehåller kan sägas motsvara den mängd information som behövs för att beskriva det (utförligt). En sifferföljd kan vara oändlig och ändå gå att beskriva rätt snabbt (börja med ett och lägg till ett i taget: 1, 2, 3, ...) (en sk. algoritm) men en kaotisk sifferföljd går inte att beskriva kortare än att räkna upp själva följden (3,141592653589793238 ... osv).
Ironiskt nog så antyder kaotiken att kaos i klassisk mening inte existerar. Kaos är bara ett annat namn på ohanterligt komplicerad ordning. När kaosforskarna studerade kaos i naturen eller matematiken så hittade de en eller annan dold komplicerad ordning. Att ordning uppstår ur oordning innebär då bara en lokal förenkling av den underliggande komplexiteten.
"Mönster födda ur formlöshet: det är biologins grundläggande skönhet och dess urspungliga mysterium. Livet hämtar ordning ur ett hav av oordning." (s.309)
"Evolution är kaos med återkoppling" (s.324)
"Kaos är hälsa" (s.11)
Närhelst något nytt uppstår så tycks kaos vara med i processen. En ordning övergår via kaos till en annan ordning. Kaos har traditionellt setts som ett uttryck för destruktivitet men innebär även konstruktivitet.
Kaos finns överallt. Det gäller att vilja se det. Räkna alltid med det oväntade.
Inom samhällsvetenskapen betyder detta att absolut planering och kontroll är omöjligt. Framtiden är alltid okänd. Absolut kontroll och planering är en omöjlighet eftersom bus-frön kan vara för små att upptäckas, men åandrasidan så kan man räkna med att nya möjligheter och chanser kommer att uppstå under spelets gång liksom oväntade problem och risker.
Detta är ett argument mot planekonomi och slutna samhällen och för marknadsekonomi och öppna samhällen, ett argument som inte alls har med mänskliga rättigheter att göra, utan är grundat i matematik.
Kaosteorin är inte lika hipp längre som den har varit. "Chaos theory is only a small part of the emerging paradigm of complex systems science."
Andra bloggar om