empirisk matematik (del ett)
Matematik sägs vara en apriorivetenskap, kanske t.o.m. den enda apriorivetenskapen, och med det menas att den är en ren skrivbordprodukt och att man som matematiker aldrig behöver gå ut i världen och undersöka den med sina egna sinnen. Det är fullständigt onödigt att mäta volymen i en kub med sidan en decimeter och konstatera att det blir en kubikdecimeter. Det säger sej självt. Traditionellt brukar logik även anses vara en apriorivetenskap, men det är möjligt att logik i själva verket är en del av matematiken.
På senare tid har det dock hänt en del saker som har problematiserat matematikens ställning som ren apriorivetenskap. Kanske började det redan med Euklides parallellaxiom. Det har aldrig haft samma självklara ställning som de första fyra axiomen i hans Elementa. Genom århundraden har matematiker gjort olika försök att bättra på parallellaxiomet.
Det var dock först Gauss, framstående inom både matematik och fysik som gav sej på galenskapen att rent fysisk mäta vinkelsumman i en triangel för att se om det verkligen blev 180 grader. På papperet blev det visserligen det, men det skulle ju kunna finnas en liten avvikelse som bara kunde upptäckas på en riktigt stor triangel. Så Gauss mäter vinklarna mellan tre bergstoppar i Hartz, och kommer fram till att det blir 180 grader. Dock finns det en liten felmarginal, som det tenderar att göra när man ägnar sej åt empiri.
Detta kan låta som en galen övning men faktum är att Einstein skulle ha sagt att Gauss triangel bara var för liten. Ju större triangel vi har desto större vinkelsumma har den. Enligt Einstein så är nämligen universum en Riemannsfär. Riemann, elev till Gauss, var en av de matematiker som upptäckte den icke-euklidiska geometrin, där det antingen finns noll vinklar som gör linjer parallella, eller fler än en parallell vinkel. Riemanns geometri saknar parallella vinklar vilket gör att alla linjer möts till sist om de dras ut tillräckligt långt. Euklides parallellaxiom hade visat sej bara vara ett av flera alternativ.
Såsom redan Gauss anade så innebär detta att man kan bedömma universums form genom att mäta vinkelsumman i en triangel. När Einstein skapade sin Relativitetsteori så använde han sej av riemannsk matematik, med följden att han beskrev en riemannsk fysik för en riemannskt universum. Idga är det snarast en öppen fråga exakt vilken fom vårt universum har och vilken geometri som i sista hand är den rätta för detta universum.
I sin "Kritik av det rena förnuftet" så hade Kant hävdat att tid och rum var apriori-intuitioner.
Påståendet
"two straight lines can neither contain any space nor, consequently, form a figure"
är sant men omöjligt att bevisa analytiskt, hävdar han.
andra bloggar om
matematik
filosofi
På senare tid har det dock hänt en del saker som har problematiserat matematikens ställning som ren apriorivetenskap. Kanske började det redan med Euklides parallellaxiom. Det har aldrig haft samma självklara ställning som de första fyra axiomen i hans Elementa. Genom århundraden har matematiker gjort olika försök att bättra på parallellaxiomet.
Det var dock först Gauss, framstående inom både matematik och fysik som gav sej på galenskapen att rent fysisk mäta vinkelsumman i en triangel för att se om det verkligen blev 180 grader. På papperet blev det visserligen det, men det skulle ju kunna finnas en liten avvikelse som bara kunde upptäckas på en riktigt stor triangel. Så Gauss mäter vinklarna mellan tre bergstoppar i Hartz, och kommer fram till att det blir 180 grader. Dock finns det en liten felmarginal, som det tenderar att göra när man ägnar sej åt empiri.
Detta kan låta som en galen övning men faktum är att Einstein skulle ha sagt att Gauss triangel bara var för liten. Ju större triangel vi har desto större vinkelsumma har den. Enligt Einstein så är nämligen universum en Riemannsfär. Riemann, elev till Gauss, var en av de matematiker som upptäckte den icke-euklidiska geometrin, där det antingen finns noll vinklar som gör linjer parallella, eller fler än en parallell vinkel. Riemanns geometri saknar parallella vinklar vilket gör att alla linjer möts till sist om de dras ut tillräckligt långt. Euklides parallellaxiom hade visat sej bara vara ett av flera alternativ.
Såsom redan Gauss anade så innebär detta att man kan bedömma universums form genom att mäta vinkelsumman i en triangel. När Einstein skapade sin Relativitetsteori så använde han sej av riemannsk matematik, med följden att han beskrev en riemannsk fysik för en riemannskt universum. Idga är det snarast en öppen fråga exakt vilken fom vårt universum har och vilken geometri som i sista hand är den rätta för detta universum.
I sin "Kritik av det rena förnuftet" så hade Kant hävdat att tid och rum var apriori-intuitioner.
Påståendet
"two straight lines can neither contain any space nor, consequently, form a figure"
är sant men omöjligt att bevisa analytiskt, hävdar han.
Det är ett exempel på ett syntetiskt-apriori-påstående. Geometrin utforskar vår aprioriintuition av rummets egenskaper. Hade vi ingen apriori-intuition så vore geometri en empirisk vetenskap och geometriska påståenden vore inte universella. Han antar dessutom att universum antingen är ändligt eller oändligt. Inte heller detta är enkelt sant i ett icke-euklidiskt universum.
andra bloggar om
matematik
filosofi
Kommentarer
Trackback