Erlangenprogrammet
Jag har tidigare skrivit om hur olika talmängder förhåller sig till varandra; att man kan tala om en hierarki från de naturliga talen till de transcendentala talen.
Man kan även göra en liknande sak inom geometrin.
Förutom talteorin så är geometrin den kanske äldsta grenen av matematiken.
De finns idag en mångfald av olika geometrier och man kan även sätta vissa av dessa i en hierarki till varandra.
Under 1800-talet fann man sej för första gången i historien med en mångfald av geometrier.
Felix Klein och hans Erlangenprogram löste hur man skulle relatera dem till varandra.
Alla dessa nya geometrier kunde väl inte vara lika "sanna" som den klassiska euklidiska geometrin?
Jodå, svarade Klein.
Erlangenprogrammet såg euklidisk och ickeeuklidisk geometri som två sidor av samma sak.
På sin tid var det revolutionerande men idag så är det självklart.
Att öht ha olika "geometrier" som man försökte att relatera till varandra innebar en ny epok inom matematiken.
Olika geometrier betraktas av Klein som grupper, enligt "gruppteorin", som vara ganska ny då.
Projective>Affine>Similarity>Euclidian
Affin geometri hamnar mellan projektiv geometri och euklidisk geometri på så sätt att den åenasidan är identisk med euklidisk geometri utan kongruens, och åandrasidan är identisk med projektiv geometri om ett partikulärt plan eller linje får representera punkterna vid oändligheten.
1912 så utvecklade Wilson och Lewis en affin geometri för att uttrycka den speciella relativitetsteorin.
Den mest generella geometrin med minst antal lagar eller begränsningar är den projektiva.
De övriga geometrierna får man genom att lägga till ytterliggare lagar till den projektiva geometrin.
Detta gör att de övriga geometrierna kan liknas vid objekt inom den projektiva geometrin.
Inom matematiken idag så är "matematiska objekt" och "matematiska rum" ofta synonymer.
Den minst generella och mest specifika av de geometrier som Klein relaterade till varandra var den euklidiska, vår vardagliga geometri.
Den mest generella geometrin är den projektiva geometrin, som jag tidigare har skrivit lite om.
Den projektiva geometrin fick ett uppsving i början av 1800-talet och var inte allmänt känd innan.
Erlangenprogrammet gjorde de olika geometrierna så nära besläktade med varandra att de bara kunde vara "sanna" och "falska" samtidigt.
Innan hade många frågat sej vilken som egentligen var den rätta geometrin bland alla dessa nya och gamla geometrier.
Alla dessa geometrier kan hittas i naturen.
Projektiv geometri beskriver t.ex skuggor och andra projektioner.
Erlangenprogrammet har haft ett enormt inflytande över stora delar av matematiken och även inom fysiken.
Innehållet är idag grundläggande självklarheter.
Ett annat namn för Erlangenskolan är Kleingeometri.
En generalisering är "Cartans geometri".
Cartans geometri användes bl.a för en tidig formulering av gravitationsteori.
Idag finns det fysiska teorier kring "observer space" som bygger på cartans geometri.
Alfred Tarskij höll 1966 ett föredrag som hette "What are logical notons?" där han föreslår en skiljelinje mellan logik och icke-logik som är inspirerad av erlangenprogrammet. Han blev mycket citerad.
När Saunders MacLane och Samuel Eilenberg skapade kategoriteorin 1945 så skrev de att:
"This may be regarded as a continuation of the Klein Erlanger Programm, in the sense that a geometrical space with its group of transformations is generalized to a category with its algebra of mappings"
Noether, som även var en föregångare till kategoriteorin, såg på matematiken som ett relationellt spel. inga talmängder utan konstruktionsmetoder.
Whitehead och Russell förenade logik med algebra och mängdlära, men geometrin och topologin ville inte passa in för Whitehead som istället skapade mereotopologin.
Inom kategoriteori så kan man nu jämföra algebra, logik, geometri och topologi.
Olika geometrier betraktas nu som grupper, enligt gruppteorin.
Kan det vara så att A.N. Whitehead inte kunde tämja geometrin för att han var otillräckligt bekant med gruppteorin och istället använde sej av mängdlära?