Tempus Fugit

Den italienska renässansen började med figurer som Dante, Petrarca och Giotto. Den senare var en målare och arkitekt som återuppväckte det realistiska idealet i måleriet och som var den förste som försökte sej på perspektiv och djupkänsla i sina målningar. Helt fulländad var hans teknik dock inte.

Ungefär ett sekel senare så lyckades Brunelleschi kring 1425 att uppfinna perspektivet på ett helt korrekt sätt. Hans metod beskrevs för första gången 1436 i Leone Battista Albertis bok Om bildkonsten. Ca 200 år senare skulle detta inspirera en ny matematisk disciplin.

Det var ganska svårt att återskapa hur vi faktiskt direkt upplever saker. Den tredimensionella rymd som vi lever i når bara vår syn som en tvådimensionell projektion. för att få saker att se realistiska ut så måste de avbildas tvådimensionellt.

Renässansens arkitekter och målare frågade sej själva hur de skulle återskapa tredimensionella objekt på en tvådimensionell yta. Som svar föreslog Leone Battista Alberti följande procedur: sätt en glasskiva mellan dej och ett objekt, stäng ena ögat, och teckna på glaset vad du ser.

Albertis metod har kallats projektion och sektion: först tecknar vi bilden som når ögat från objektet. Eftersom vi kan flytta ögat och glasskärmen så får vi flera olika tvådimensionella representationer av det tredmensionella objektet.

Ett intressant problem, som Alberti själv tog upp, är att hitta de gemensamma egenskaperna hos alla dessa olika representationer. Det är samma fråga som datorvetenskapsmän ställer idag. Dagens datorforskare frågar hur man kan få en dator att känna igen att två olika bilden representerar samma objekt ur olika synvinklar.

Centralperspektivet är mer betraktarcentrerat (korrelationisktiskt) medan tidigare medeltida konst hade varit mer objekt-orienterad och inte hade varit lika bekymrad om relationerna mellan objekten. Istället för att avbilda det rationella objektet i-sej avbildades det empiriska objektet för-mej. Avbildningar med korrekta perspektiv upplevs också som mer realistiska, dvs vi känner igen dem som det sätt världen upplevs på.

Projektiv geometri utvecklades av Desargues och andra i deras utforskande av principerna för perspektivistisk konst.

Johannes Kepler och Gerard Desargues utvecklade oberoende av varandra det avgörande begreppet "punkt vid oändligheten". Kepler introducerade punkten vid oändligheten 1604 i en diskussion om koniska sektioner.

Desargues var ingenjör, arkitekt och matematiker. Desargues konstruerade det allra första teoremet inom projektiv geometri och uppfann därmed en ny matematisk disciplin, vilket uppmärksammades först långt efter hans död. Hans arbete återupptäcktes och återutgavs 1864.

Desargues utvecklade ett alternativt sätt att konstruera perspektivteckningar (1639). Han gjorde euklidisk geometri, med parallella linjer, till ett specialfall av ett allomfattande geometriskt system. Desargues arbete med koniska sektioner drog till sej uppmärksamheten från 16-årige Blaise Pascal och hjälpte honom att formulera Pascals teorem (1640).

I äldre litteratur kallas projektiv geometri ibland "högre geometri", "geometry of position" eller "deskriptiv geometri".

Under 1700-talet hände ingenting inom projektiv geometri. Ämnet var dock populärt under 1800-talet. Under 1900-talet ansågs det uttömt men har inte minst tack vare datorgrafik blivit intressant igen.

Jean-Victor Poncelet publicerade den projektiva geometrins grundande avhandling 1822. (183 år efter Pascals insats.)

De första fyra axiomen är alltså samma som i euklidisk geometri, men istället för parallellaxiomet, som säger att endast en typ av vinkel av parallella linjer aldrig möts, så har vi det projektiva axiomet som säger att alla raka linjer möts och endast en gång.

(Projektiv geometri påminner t.ex lite om riemansk geometri, där dock vilka två raka linjer som helst alltid möts exakt två gånger.)

Det projektiva axiomet: Vilka två linjer som helst möts ( i exakt en punkt).

Grundläggande projektiv geometri handlar bara om punkter och linjer men i högre dimensioner så kan man även tala om olika hyperplan.

De icke-euklidiska geometrierna som upptäcktes kort därefter bevisades till sist ha modeller, som Klein-modellen för hyperbolisk rymd, som relaterade till projektiv geometri.

Projektiv geometri är den mest generella och minst restriktiva i hierarkin av de fundamentala geometrierna; euklidisk, metrisk (likhet), affinitiv och projektiv.

Projektiv geometri och ordnad geometri är elementära eftersom de innehåller ett minimum av axiom och kan var för sej användas som grund för affinitiv och euklidisk geometri. Eftersom projektiv geometri inte är "ordnad" så är det en distinkt grund för geometrin.

Eftersom projektiv geometri utesluter kompasskonstruktioner så finns det inga cirklar, inga vinklar, inga mätningar, inga paralleller och inget begrepp om att vara mitt i mellan nånting.

En av de märkligaste egenskaperna är att alla propositioner inom projektiv geometri förekommer i par, med egenskapen att om man startar från ena propositionen så får man genast den andra propositinen om man byter ut orden "punkt" och "linje" mot varandra.

Till exempel, det basala axiomet att " för varje par av punkter så finns det en unik linje som går igenom bägge dessa punkter", blir när man vänder på det "för varje par av linjer så finns det en unik punkt som går igenom (dvs ligger på) bägge dessa linjer".

Projektiv geometri formaliserar i synnerhet en av den perspektivistiska konstens centrala principer: att parallella linjer möts vid oändligheten och därför ska tecknas på det sättet.

Alla linjer möt en och endast en gång. Om man nu ska göra en tredimensionell tolkning av en tvådimensionell yta så måste linjer som  går in i den tredje dimensionen, bort från betraktaren, mötas. Djupdimensionen markeras endast av dylika linjer. Tolkningen blir att de möts först i slutet av den tredje dimensionen, dvs vid oändligheten.

Att två linjer möts exakt en gång kan härledas ur dualitetspcincipen, men hur ska man förklara den?

(Jag klottrade ner detta:

"projektiv geometri handlar om att ta bort eller tillföra en dimension, och punkter och linjer är egentligen samma sak, med en dimension mer eller mindre."

I wikipedia så står det så här:

"That is, in a projective space of dimension n, the points (dimension 0) are made to correspond with hyperplanes (codimension 1), the lines joining two points (dimension 1) are made to correspond with the intersection of two hyperplanes (codimension 2), and so on.")

Det tidiga 1800-talets projektiva geometri var ett steg på vägen från analytisk geometri till algebraisk geometri.

Under senare 1800-talet så blev det detaljerade studiet av projektiv geometri mindre på modet , fast litteraturen fortfarande var omfattande.

För tjugo år sedan så verkade projektiv geometri mest ha historiskt värde men idag så är projektiv geometri ett populärt ämne hos matematiker och datorforskare. Detta beror på nya tillämpningar av datorgrafik och att geometri och geometriskt tänkande återigen är på uppgång. Dessutom så har datorexperter återgälldat tjänsten genom att bidra med verktyg för att visualisera och sprida matematik.

Projektiv geometri uppfanns när man försökte att - till skillnad från euklidisk geometri - återge hur världen faktiskt ser ut ur ett mänskligt perspektiv.

Man fick då den mest grundläggande  och generella geometrin.

Man kan faktiskt aldrig se två parallella linjer. Drar man ut vilka två linjer som helst tillräckligt långt så ser de alltid ut att mötas.

Projektiv geometri kan även få direkt fysisk manifestation i olika ljussammanhang (som ögat)  så det är inte någon verklighetsfrämmande teoretisk konstruktion.