Kalkyl; dynamik och determinism
Jag hoppas att mina läsare har en vag aning om Zenons paradoxer från antikens Grekland. De gick ut på att på olika sätt bevisa att rörelse och förändring var en omöjlighet. Som t.ex "Akilles och sköldpaddan".
Akilles kan aldrig hinna ikapp sköldpaddan eftersom han alltid måste hinna halvvägs till skölpaddan först och i princip så finns det ett oändligt antal "halvvägs" som Akilles först måste förbi innan han hinner ikapp sköldis.
Aristoteles lösning var att ju kortare dessa avstånd var desto kortare tid att överbrygga dem. Detta är en bra ansats även om det inte fullbordar lösningen.
Grekernas matematik innehöll varken nollan eller oändligheten.
Om du tar ett steg som är 40 cm och sen ett steg som är 20 cm och sen ett steg som är 10 cm osv så kommer du aldrig att komma längre än 80 cm från utgångspunkten. Detta är gränsvärdet. En oändlig process ryms inom ett ändligt värde.
Insikten att en oändlg process kan leda fram till ett ändligt slutresultat är grunden för calculusen (och analysen).
Arkimedes tycks ha uppfunnit infinitesimaler och calculus redan under antiken, men detta glömdes bort och man var tvungen att uppfinna dem igen.
Viktiga principer återupptäcktes och vidareutvecklades av kineser och av muslimer men fick inget varaktigt inflytande.
Bonaventura Cavalieri, John Wallis, Isaac Barrow, James Gregory och Pierre de Fermat gjorde viktiga insatser innan Newton och Leibniz under sent 1600-tal började bråka om vem av dem som var först.
"Calculus" är en benämning på både differential- och integralkalkyler, som på ett sätt kompletterar varandra. Calculus beskrivs som en matematik för att beskriva förändring. Calculusen föreställer sej en oändlig process vilket senare skulle bli grunden för den matematiska analysen.
En differentialkalkyl räknar ut derivatan som är förändringshastigheten i ett ögonblick. En integralkalkyl räknar ut hur mycket som totalt har förändrats, t.ex hur mycket vatten som har runnit under bron. Calculus är förändringens matematik.
Förändring och framtid verkade nu bli nånting beräkningsbart och förutsägbart. Med calculusen införs både dynamik och determinism.
Newton och Leibniz räknas som calculusens uppfinnare. Deras dispyt är allmänt känd. Deras verk förenades av Euler, inte bara historiens mest produktive matematiker utan enastående på fler sätt än så. Euler och Cauchy skapade den matematiska analysen och funktionsläran (m.m.) Analys kallas alla oändliga matematiska processer. Analysen och funktionerna skulle få enorm praktisk betydelse. Utan Euler så hade ingenjörerna fått gå hem.
Newton såg i integralkalkylen en förening av rörelse och form, Liksom han i första mekaniska satsen jämställde likformig rörelse med att vara i vila, säkert inspirerad av galileisk relativitet.
Calculusen kopplades omgående till Descartes nya analytiska koordinatsystem. Om man har en kurva i en graf så kan man beräkna förändringshastigheten genom att räkna ut hur mycket kurvan lutar i en viss punkt. Det är lätt att räkna lutningen mellan två punkter och om man för dessa närmare varandra längs kurvan så når de till sist varandra.
Fast det är inte tillåtet. Punkterna måste komma så nära varandra som möjligt men de får inte förenas. Ju närmare punkterna kommer varandra så ser man dock snart att processen närmar sej ett gränsvärde.
Newton och Leibniz räknade dock istället med infinitesimaler, som ska vara mindre än något positivt tal men ändå större än noll.
Infinitesimalen kritiserades hårt av Berkeley i "The analyst" som kallade den "the ghosts of departed quantities." Hans kritik var i princip korrekt och infinitesimalerna togs senare bort och ersattes av gränsvärdesbegreppet. Ännu senare så återinfördes de igen.
Infinitesimalerna skulle kunna vara en inspiration för Leibniz monader. Försvinnande små entiteter som sammanfattar en utveckling.
Även mängden förändring under kurvan kan sammanfattas av en gränsvärdesprocess.
Genom att beskriva kvantitativ förändring på x-axeln och tiden på y-axeln banade man väg för att 250 år senare tolka tiden som den fjärde rumsdimensionen.
Calculus var den moderna matematikens första viktiga uppfinning. Idén om det oändligt lilla är här viktig. Calculus beskriver för första gången förändring och dynamik matematiskt.
Detta bidrog även till att göra determinismen populär.
Matematikern Laplace postulerade i slutet av 1700-talet ett tankeexperiment där en demon vet läget, hastigheten och riktningen hos varje partikel i universum och som därför borde kunna förutsäga framtiden för allt i universum, eftersom universum utvecklades enligt strikt deterministiska lagar.
Senare kopplades dynamiken till trigonometri när periodiska förändringar visade sej beskrivas av sin, cos och tan. I början av 1800-talet tycks Hegel beskriva sin dialektik som en sorts dynamisk trigonometri. Leibniz intresserade sej även för den kinesiska I CHING som enl. NE förutsäger "ödets cykliska förändringar".
I början av 1800-talet så varnade prästen Malthus för överbefolkningens domedag, vilket ingen dittills hade sett som något större problem. Enligt honom så utvecklades dock samhällets produktion linjärt medan befolkningsökningen följd en "geometrisk kurva" dvs nånting i stil med en andragradskurva. Så samhällets ökade produktion skulle aldrig kunna tävla med samhällets ökade behov. Enligt honom så stod mänsklighetens enda hopp till sexuell avhållsamhet och minskade barnkullar, men så var han också präst.
Hittills så har samhällets produktion mycket väl kunnat hålla jämna steg med befolkningsökningen. Problemet är snarare att vi lever i en ändlig värld med ändliga resurser och att tillväxten inte kan fortsätta för evigt.
Liknande tankar fanns i mitten av 1800-talet. Ekonomin kallade den pessimistiska vetenskapen därför att alla förutspådde att såväl vinst som tillväxt naturligt skulle komma att avta med tiden. Det fanns ett gränsvärde för ekonomisk tillväxt. J.S. Mill hoppades att när samhället i framtiden skulle tvingas att vänja sej vid att leva utan tillväxt så skulle förhoppningsvis ett annat samhälle kunna växa fram, ett mer stabilt och harmoniskt än dagens samhälle.
Marx ekonomiska uppfattningar påminnde om Mills och andra borgerliga ekonomers men Marx kombinerade brittisk ekonomi med tysk filosofi och fransk socialism. Under 1900-talet så har vi istället fått den eviga tillväxtens evangelium, ackumulation som religion.
Partiella integralfunktioner förenade det viktigaste hos matematiken och fysiken under hela 1800-talet. Detta har kallats den västerländska civilisationens höjdpunkt, när Europa behärskade världen och den vetenskapliga världsbilden började verka färdig.
Differentialgeometrin använder differentialkalkylens metoder på geometriska objekt. Differentialgeometrin inspirerade via Riemanns mångfalder topologins utveckling.
Även om calculus och analys på kort sikt främjade determinismen så upptäktes senare att inte alla system var förutsägbara ens om deras initialtillstånd var kända. Detta skulle leda till studier av kaotiska system; en ny nivå av dynamik. Även den nya kvantmekaniken underminerade determinismen. Sannolikhetskalkylen utvecklad av Pascal har istället fått bredare och bredare användningsområden.
Matematikens utveckling har gått från det statiska till det dynamiska, från det begränsade till det oändliga, från entydiga tillstånd till sannolikheter, från ordning till kaos, från det lågdimensionella till det högdimensionella, från det konkreta till det abstrakta.