lite klassisk fysisk fältteori
Teorin om fysiska fält utvecklades ungefär samtidigt med den matematiska tensorteorin. Exempel på tensorer är en skalär, en vektor och en matris. En skalär är ett fast, enkelt värde som t.ex en temperatur eller en längd eller en vikt osv.
Detta kan kontrasteras mot en vektor som är ett värde med en riktning, som en vindstyrka eller en hastighet. Man kan likna en skalär med ett nolldimensionellt, punktformigt värde och en vektor med ett endimensionellt linjeformat värde (fast en linje med en riktning). En matris är ett tvådimensionellt värde och ännu högre dimensioner är fler exempel på tensorer.
Ett fysiskt fält är ett område som har en gemensam fysik. Området kan vara mycket stort eller mycket litet. En värmebölja är ett sorts fysikt fält med en temperatur som lokalt kan beskrivas med skalärer, ett skalärfält.
Om väderkartan på tv istället visar hur det kommer att blåsa över landet så visas ett vektorfält. Ett gravitationsfält är ett fysiskt fält med en riktning (nedåt) och följdaktligen så är det ett vektorfält (enligt Newton, inte enl. Einstein). Ett fält kan vara ett skalärfält ett vektorfält, ett tensorfält eller ett spinorfält. En spinor är ett slags alternativ till en vektor. Inom kvantfältteori så kan fermioner bara beskrivas av spinorfält.
Fysiska fältteorier går tillbaks till Faraday 1845. Faraday var egentligen en bokhandlare som bara råkar vara en av de mest hyllade experimentfysikerna i historien. Han föddes i en fattig familj och fick undervisa sej själv om det allra mesta. Som forskare påvisade han ett samband mellan elekticitet och magnetism, vilket Maxwell senare formulerade matematiskt som elektromagnetism. Om Faraday var praktikern så var Maxwell teoretikern. Men antagligen är det fel uttryckt. Maxwell sa att Faraday var en matematisk begåvning trots att han inte hade någon högre matematisk bildning.
Faraday talade om "lines of force" som nånting skilt från partiklar och visade att ett magnetfält kunde överföra en kraftladdning, vilket gjorde det till ett självständigt fysiskt fenomen. Han hittade även ett samband mellan magnetism och ljus. Under 1860 och -70-talet så gjorde Maxwell matematisk fysik av Faradays experiment och intuitioner.
Han gjorde minst tre olika upptäckter som förebådade kvantfysiken; faradayfält, faradayvågor och Cathode rays (1838)
En paradigmatisk händelse var när elektricitet och magnetism upptäcktes vara samma sak och två olika uttryck för ett elektromagnetiskt fält (Maxwells ekvationer). Denna bedrift har man försökt upprepa ett flertal gånger. Man har kombinerat teorier och försökt att reducera dem till något enhetligt bakomliggande.
Faraday och Maxwell hade skapat och matematiserat den klassiska fältteorin och hade knutit ihop elekticitet och magnetism och Maxwell föreslog också att ljus kunde vara en elektromagnetisk våg. Men ljus hade motsägelsefulla egenskaper. Ljus betedde sej ibland som vågor och ibland som partiklar och befann sej aldrig i vila utan hade alltid en mycket hög hastighet men dock inte oändlig hastighet som ibland hade antagits i historien. Ljusets hastighet mättes till 300.000km/sek men var alltid konstant oavsett hur ljuskällan och observatören rörde sej (vilket kunde förklaras om ljuset var en slags vågor). Fanns det någon modell som kunde beskriva alla dessa egenskaper och var den modellen en del av den klassiska fälteorin?
En hypotes som förespråkades av några var att ljuset alltid verkade ha samma hastighet eftersom mätinstrumentens form ändrades och mätte ljuset på olika sätt. En liknande förklaring kunde också förklara varför etern inte kunde påvisas i experient.
Många funktioner som etern fyllde i fysiken förr utförs idag istället av fysiska fält.
Lustigt nog antogs först allting vara relativistiskt utom just elektromagnetiska fenomen. Den klassiska mekaniken var relativistisk enligt galileis relativism, men detta gällde inte de nyupptäckta elektromagnetiska fenomenen. Lorentz upptäckte dock att de hade en alldeles egen sorts relativitet, som beskrevs av lorentztransformationer.
Lorentz utvecklade lorentztransformationer för elektromagnetiska fenomen som verkade förklara testresultat men som inte stämde överrens med Newtons och Galileis beskrivning av rum och tid eller med vardagliga erfarenheter av materiella objekt.
Enligt Galilei kunde vad som helst beskrivas som att det var i vila om man antog att allt annat rörde sej. Om något rörde sej eller var i vila berodde på referensramarna, vilket bland annat förklarade varför jorden inte verkade röra på sej trots att den gjorde det. Olika referensramar kan sedan översättas till varandra. Detta är den galileiska relativiteten.
Elektromagnetism och mekaniska fenomen var dock experimentellt relativistiska till varandra så samma relativitet borde gälla för bägge. Var mekaniken egentligen lorentzcovariant eller var elektromagnetismen egentligen Galileicovariant? Lorentz antog att mekaniken egentligen var lorentzcovariant.
Lorentztransformationer innebär att man utgår från lokala referensramar för olika observatörer som man sedan försöker att översätta till varandra. Detta gällde dock även galileisk relativitet. Den stora skillnaden är den absoluta ljushastigheten som alltid är densamma i alla refensramar enligt lorentztransformationerna. Och detta fick även andra följdeffekter.
Lorentz och matematikern Poincaré har runt 1905 en mängd hypoteser som ganska väl beskriver situationen men som kanske inte känns riktigt eleganta som en teoretisk helhet. Det är då Einstein publicerar sin speciella relativitetsteori. Han tolkade lorentztransformationerna som något mer grundläggande än bara gällande elektromagnetism eller kanske t.o.m. mekaniska fenomen. Lorentztransformationerna beskrev själva rummet och tidens form.
Därmed har vi egentligen lämnat den klassiska fältteorin, även om fältteorierna kan omformleras inom en einsteinrelativistisk ram.
Däremot så uppstår snart kvantfältteorin. Samtidigt som sin speciella relativitetsteori så hade Einstein även publicerat sitt arbete om den fotoelektriska effekten, vilket var viktigt för den nya kvantfysiken.
andra bloggar om
Gaugeteori?
Har du hört talas om gaugeteori? Den är en del av kvantfältteori och poppar ofta upp i samtida fysik. Men det verkar inte helt lätt att sätta sej in i vad det egentligen är för något.
Själva namnet - gauge - visar att detta ursprungligen bara sågs som ett teoretiskt mätproblem. Inte som dolda egenskaper hos verkligheten. "Gauge" kan betyda kaliber och storlek. Men när man kalibrerar mikroskopet för att ställa in fokus så upptäcker man plötsligt saker som man aldrig har sett förut.
Att välja gauge kan liknas vid att bestämma ett mätevärde för det bakomliggande osyliga. Olika formuleringar kan anta olika saker om den lokala miljön trots samma resultat.
Först sågs gauge som att välja den bästa formen på beskrivningen/teorin, men från Yang-Mills 1954 uppkommer idén med ett konkret existerande gaugefält, som skapar virtuella partiklar. Ett kvantifierat gaugefält är samma sak som gaugebosoner.
Materiepartiklar, baryoner och sånt, påverkar varandra genom kraftpartiklar, bosoner. En boson som en foton t.ex är universellt massalös men kan i ett lokalt gaugefält ändå uppvisa massa.
Istället för universella symmetrier så får vi lokala symmetrier som innebär ett symmetribrott med de universella symmetrierna. Två partiklar möts, vänder lagboken ryggen och gör en lokal överrenskommelse. De gör ett hemligt utbyte som bägge är nöjda med.
Redan Maxwells elektromagnetism 1864 uppvisade egentligen gaugesymmetrier men detta uppmärksammades och förstods inte förrän senare. Gaugesymmetrier är likheterna mellan alternativa gaugeteorier och översättningen dem emellan kallas "gaugetransformation". Alla möjliga gauger till en teori kallas en gaugegrupp eller symmetrigrupp. Det som kan beskrivas på olika sätt kallas "gaugepotential".
Det tog lång tid innan gaugeteorin förstods och accepterades. När man fördjupar sej i en massa krånglig matematik så får man det oväntade resultatet att något uppstår ur intet. Virtuella partiklar kan inte observeras direkt empiriskt. Klentrogna fysiker upptäckte dem rent matematiskt. De virtuella partiklarna måste åenasidan kunna få massa öht och åandrasidan inte bli oändligt tunga. Det senare löstes först 1971 och först nu började gaugeteorier få mer uppmärksamhet.
Under 70-talet upptäkte man ett släktskap mellan gaugeteori och differentiell geometri, som redan användes i relativitetsteori. En gaugepotential är nu en "connection" på en "fibre bundle".
En del är rent lyriska över den djupa, meningsfulla matematiken och ser gaugeteori som framtiden. Lokala symmetrier ses som mer grundläggande än globala symmetrier. Men gaugeteori ses också som nånting fortfarande gåtfullt och inte helt förstått. Det sista kan jag relatera till.
andra bloggar om
fysik, matematik, vetenskap,Symmetri
För syn och hörsel åtminstone så tycks skönhet och behag vara nära förknippat med harmoni och symmetri. Harmoni och symmetri återfinns ofta inom estetik och symbolik. Utanför psykologin och humanioran så har symmetri även visat sej vara av tung vikt för både matematik och fysik, och återfinns även inom kemi, biologi osv.
Symmetri är inte identiskt med matematisk skönhet i stort. Även om det finns många olika sorters symmetri så är det bara ett exempel bland flera på matematisk skönhet. Symmetri utforskas inte minst av gruppteori.
1915 upptäckte den tyska matematikern Emmy Noether att olika symmetrier hos fysiska system exakt överensstämde med olika konserverings- eller bevarandelagar inom fysiken. T.ex så motsvarar principen om energins bevarande naturlagarnas tidsinvarians. Noethers teorem (publicerad 1918) är en både praktiskt och teoretiskt viktig grund för senare fysik.
"it is only slightly overstating the case to say that physics is the study of symmetry."
-Nobel laureate PW Anderson
Symmetri betyder inom fysiken idag att något förblir detsamma trots att en förändring finns närvarande. Fysiker söker likheter och regelbundenheter.
Om vissa partiklar har vissa varianter av sej själva, är det då inte värt att undersöka om inte fler har det? Idén med "supersymmetri" skapades först inom strängteorin med importerades snart till standardmodellen.
Att ordning plötsligt uppstår ur kaos är ett exempel på ett "symmetribrott".
På wikipedia finns ett resonemang om varför symmetrins matematik är så viktig för kvantfysik; Ju enklare objekt är desto bokstavligare blir en matematisk modelering av dem. Om kvantfysikens små objekt tycks vara lika enkla som matematiska abstraktioner. Så kvantfysik påminner mer om ren matematik än om klassisk fysik. (Åtminstone ibland, antar jag att man ska tolka resonemanget.)
Just för att symmetri är av en så fundamental betydelse inom fysiken så är det iögonenfallande när man hittar asymmetrier. Som hos den svaga växelverkanskraften.
andra bloggar om
The more things change, the more they remain the same
Tänk dej att jag fotograferar flera olika objekt sett från olika håll och att du sedan ska försöka gruppera fotografierna efter de olika objekt som de visar. Känner du igen objekten så kan det vara lätt, känner du inte igen objekten så kan det vara svårt.
Detta påminner mycket om tillämpning av gruppteori inom geometri men gruppteori kan tillämpas på många andra matematiska områden också. Inom aritmetiken så är de positiva heltalen 1, 2, 3 osv en grupp under additionsoperationen.
Det betyder att om man gör något med ett positivt heltal, plussar ett annat positivt heltal och får ett nytt positivt heltal och aldrig något annat än ett positivt heltal så är alla positiva heltal en sluten grupp så länge som man bara plussar dem med varandra.
Objektet var en sluten grupp om man bara vred på det och heltalen är en sluten grupp om man bara adderar dem. Tittat man bara på ett objekt från olika håll så får man aldrig ett annat objekt och adderar man bara heltal med heltal så får man bara heltal. Så fungerar slutna grupper. Det finns en mängd och en operation av något slag och mängden är sluten under just den operationen. Hur mycket man än vrider på ett objekt så är det ändå samma objekt.
Om man däremot dividerar t.ex 3 med 2 så får man inte ett heltal och om man delar ett objekt i mitten så får man inte samma objekt sedd ur en annan synvinkel, utan två nya objekt.
Detta är rätt enkla exempel för att man ska förstå själva grunderna, men en del av nyttan med gruppteori är att använda den i avancerade, abstrakta sammanhang för att försöka urskilja naturliga sammanhang och grupper inom, svåra, komplicerade matematiska sammanhang.
Gruppteori har under 1900-talet blivit en populär gren av matematiken som det har forskats en del kring och detta beror inte minst på ett nära sammarbete med forskningsfronten inom fysik.
När kvantmekanikens nya främmande värld chockade forskarna i början av 1900-talet så kunde de inte ta nånting för givet längre. De var tvungna att börja om med mycket basala antaganden och frågor. När saker verkade påverkas av att man tittade på dem så verkade allt vara ett gungfly. Einstein visade dock med sin relativitetsteori hur man kunde hitta något varaktigt att hålla sej fast i.
1905-06 upptäcke matematikern Poincaré att tiden kunde representeras som en fjärde dimension i en matematisk modell. Matematikern Minowsky vidareutvecklade idén och omformulerade bl.a Einsteins nyligen publicerade speciella relativitetsteori i fyra dimensioner. Sedan dess så är Minowskys 4-dimensionella rumtid det vanliga sättet att se på rum och tid inom fysiken.
Jag bor två minuters gångväg från mitt lokala ICA. Om jag går dit nu så tar det två minuter och om jag går dit om en timme så tar det också två minuter. Gångtiden förändras inte av när jag gör det. Gångtiden är likadan, symmetrisk, vid olika tidpunkter. Det tar även två minuter att gå hem från mitt lokala ICA. Att gå samma väg från bägge hållen är också symmetriskt.
inom Minoskys rumtid så finns det sammanlagt tio olika "symmetrier", dvs förändringar som inte förändrar nånting. Det tar fortfarande lika lång tid att göra samma sak. Tidigare var vi utanför ett objekt och vred på det utifrån. Nu kan vi säga att vi befinner oss innuti ett objekt och utforskar det innifrån. Objektet är Minoskys rumtid och dess symmetrigrupp kallas för Poincarégruppen. På sätt och vis så är Poincarégruppen elementära självklarheter. Men den utgör också en matematisk grund för Einsteins relativitetsteorier.
Ett mer avancerat exempel på gruppteori utgör muslimska ornamentmönster. Inom plansymmetrin hittar vi bl.a friesegrupper, dihedral groups och wallpapergroups, m.m.
Muslimska mönster har dessutom släktskap med både kristaller och kvasikristaller.
andra bloggar om