Tempus Fugit

Detta påminner mycket om tillämpning av gruppteori inom geometri men gruppteori kan tillämpas på många andra matematiska områden också. Inom aritmetiken så är de positiva heltalen 1, 2, 3 osv en grupp under additionsoperationen.

Det betyder att om man gör något med ett positivt heltal, plussar ett annat positivt heltal och får ett nytt positivt heltal och aldrig något annat än ett positivt heltal så är alla positiva heltal en sluten grupp så länge som man bara plussar dem med varandra.

Objektet var en sluten grupp om man bara vred på det och heltalen är en sluten grupp om man bara adderar dem. Tittat man bara på ett objekt från olika håll så får man aldrig ett annat objekt och adderar man bara heltal med heltal så får man bara heltal. Så fungerar slutna grupper. Det finns en mängd och en operation av något slag och mängden är sluten under just den operationen. Hur mycket man än vrider på ett objekt så är det ändå samma objekt.

Om man däremot dividerar t.ex 3 med 2 så får man inte ett heltal och om man delar ett objekt i mitten så får man inte samma objekt sedd ur en annan synvinkel, utan två nya objekt.

Detta är rätt enkla exempel för att man ska förstå själva grunderna, men en del av nyttan med gruppteori är att använda den i avancerade, abstrakta sammanhang för att försöka urskilja naturliga sammanhang och grupper inom, svåra, komplicerade matematiska sammanhang.

Gruppteori har under 1900-talet blivit en populär gren av matematiken som det har forskats en del kring och detta beror inte minst på ett nära sammarbete med forskningsfronten inom fysik.

När kvantmekanikens nya främmande värld chockade forskarna i början av 1900-talet så kunde de inte ta nånting för givet längre. De var tvungna att börja om med mycket basala antaganden och frågor. När saker verkade påverkas av att man tittade på dem så verkade allt vara ett gungfly. Einstein visade dock med sin relativitetsteori hur man kunde hitta något varaktigt att hålla sej fast i.

1905-06 upptäcke matematikern Poincaré att tiden kunde representeras som en fjärde dimension i en matematisk modell. Matematikern Minowsky vidareutvecklade idén och omformulerade bl.a Einsteins nyligen publicerade speciella relativitetsteori i fyra dimensioner. Sedan dess så är Minowskys 4-dimensionella rumtid det vanliga sättet att se på rum och tid  inom fysiken.

Jag bor två minuters gångväg från mitt lokala ICA. Om jag går dit nu så tar det två minuter och om jag går dit om en timme så tar det också två minuter. Gångtiden förändras inte av när jag gör det. Gångtiden är likadan, symmetrisk, vid olika tidpunkter. Det tar även två minuter att gå hem från mitt lokala ICA. Att gå samma väg från bägge hållen är också symmetriskt.

inom Minoskys rumtid så finns det sammanlagt tio olika "symmetrier", dvs förändringar som inte förändrar nånting. Det tar fortfarande lika lång tid att göra samma sak. Tidigare var vi utanför ett objekt och vred på det utifrån. Nu kan vi säga att vi befinner oss innuti ett objekt och utforskar det innifrån. Objektet är Minoskys rumtid och dess symmetrigrupp kallas för Poincarégruppen. På sätt och vis så är Poincarégruppen elementära självklarheter. Men den utgör också en matematisk grund för Einsteins relativitetsteorier.

Ett mer avancerat exempel på gruppteori utgör muslimska ornamentmönster. Inom plansymmetrin hittar vi bl.a friesegrupper, dihedral groups och wallpapergroups, m.m.

Muslimska mönster har dessutom släktskap med både kristaller och kvasikristaller.

andra bloggar om

matematik, fysik, estetik,