lite om differentiell geometri och fysik
Gauss, ibland kallad matematikernas kung, skapade den differentiella geometrin när han 1828 råkade skapa theorema egregium som visade att man kan bestämma en ytas krökning som en intrinsikal egenskap hos själva ytan utan hänvisning till det omkringliggande rummet.
Om man tittar på en form så är det lätt att se om dess yta är krökt eller platt. Då ser man ytan och formen i rummet. Men vad Gauss gör med theorema egregium är att han blundar och stäcker fram handen och känner på ytan. Hur känns själva ytan? Känns den krökt? Man känner bara relationen mellan olika delar av ytan och tillsamman gör dessa att ytan känns krökt.
Med hjälp av matematik från integral och differentialekvationer så kan man jobba med geometriska former på ett nytt sätt. Detta kallas differentialgeometri. Enbart genom att bestämma avstånd och vinklar på själva ytan så kan man bestämma om ytan är krökt i rummet, utan att matematiskt undersöka ytans krökning i rummet. Man känner bara på ytan, utan att titta.
Differentialgeometrin är viktig för kartprojektioner och förklarar varför ingen platt karta kan återge ytan på en tredimensionell sfär som Jorden. På en sfär så kan man t.ex skapa en triangel med enbart räta vinklar. Det är omöjligt på en plan yta.
Tydligen så är det även differentialgeometrin som förklarar varför en trekantig pizzaslize blir styv om man böjer upp kanterna en aning, och därför lättare att äta.
Riemann närvarade vid några föreläsningar av Gauss och från 1854 började Riemann lägga grunden till riemanngeometri som är en förutsättning för Einsteins relativitetsteori. Riemanngeometri kan räknas som en del av differentialgeometrin.
Differentialgeometri används inom relativitetsteori och inom gaugeteori och även av Perelman när han bevisade Poincares förmodan (genom att hantera universum som en mozarellapizza).
Hermann Weyl (som hade samma älskarinna som Schrödinger) skapade gaugeteorin 1918 (bl.a influerad av Husserls fenomenologi) i ett då misslyckat försök att förena elektromagnetism med gravitationsteori. Gaugeteorin skulle dock överleva och vidareutvecklas.
Under 40- och 50-talen så utvecklade fysikerna gaugefältteorier. Samtidigt så utvecklade matematikerna den differentiella geometrin med begrepp som "vector fields" och "fibre bundles" m.m. Under tidigt 1970-tal så upptäckte man oväntade samband mellan dessa olika forskningsfält. De verkade vara två varianter av samma sak. Likheterna var påtagliga.
Även matematiken influerades av fysiken. Matematiska idéer från gaugeteori inspirerade den uppmärksammade upptäckten av "exotiska strukturer" på den fyrdimensionella riemannsfären 1984. Dvs när en sfär är fyradimensionell så skapas det av någon anledning extra information. Detta skulle kanske kunna ha något med fysiken i vårt universum att göra men området verkar inte vara speciellt uforskat.
18 mars 2010 kungjordes att ryssen Perelman hade löst Poincares förmodan. Han använde sej bl.a av "ricci flow" från differentiell geometri. Men mer om det i en annan postning.