Tempus Fugit

The mathematical facts worthy of being studied are those which, by their analogy with other facts, are capable of leading us to the knowledge of a physical law. They reveal the kinship between other facts, long known, but wrongly believed to be strangers to one another.
-Poincaré

 

The scientist does not study nature because it is useful; he studies it because he delights in it, and he delights in it because it is beautiful. If nature were not beautiful, it would not be worth knowing, and if nature were not worth knowing, life would not be worth living. Of course I do not here speak of that beauty that strikes the senses, the beauty of qualities and appearances; not that I undervalue such beauty, far from it, but it has nothing to do with science; I mean that profounder beauty which comes from the harmonious order of the parts, and which a pure intelligence can grasp.
-Poincaré

 

Poincaré var en naturbegåvning inom matematik och även den del andra fält. Han kallas ibland "den siste universalisten" inom matematik (vilket även andra har kallats). När han tog ett av de allra första intelligenstesterna som hans bekante Binet just höll på att utveckla, och fick ett resultat under medel, så ursäktade Binet honom med att matematikprofessorn nog hade haft annat att tänka på. Poincaré hade dålig syn och brukade för det mesta arbeta i huvudet.

Som tänkare var han ganska intuitiv och funderade sällan länge på ett problem innan han gick över till något annat och räknade med att hans undermedvetna skulle fortsätta att jobba på problemet.

Han ville se ett nära samband mellan matematik och fysik och var kritisk till den formalism som Hilbert stod för som en reaktion på Cantors infinita matematik. Mängdteori tyckte Poincaré illa om. Aritmetiken ansåg han vara syntetisk-apriori, liksom Kant.

Däremot vidareutvecklade han topologin och hjälpte till att befästa den som en viktig och central matematisk disciplin under 1900-talet. Topologin studerar former ungefär som geometrin, men utan exakta avstånd. En kvadrat ska ju t.ex ha lika långa sidor och nått sånt finns inte inom topologin. Istället pekar topologer på likheterna mellan kvadrater, trianglar och cirklar, t.ex. 

Dessa kan sägas vara "homologa" genom att man t.ex kan forma ett gummiband till dessa olika former, utan att klippa eller klistra i gummibandet. Egentligen är alla objekt homologa som har samma antal hål i sej; så ett "B" är homologt med en "8" osv. "Homotopi" är ungefär samma sak som "homologi"; skillnaden är något för utbildade matematiker att hålla reda på.

Vill man ha lite större likhet mellan objekt så kan topologer istället tala om "homomorfism". "Topologiska objekt" är nästan samma sak som "topologiska rum" och objekt kan även vara så komplexa att de är oavgörbara och man kan t.ex inte räkna hålen i dem.

Även grafteori och knutteori räknas som delar av topologin. Topologin fick tidigt praktisk användning inom elektronik och kemi.

En del hävdar att Poincaré var före Einstein med relativitetsteorin. Redan år 1900 publicerade han en formel som är nästan identisk med E=mc2 och 1902 publicerade han en populärvetenskaplig bok där han tog upp en del saker han jobbat med och som förebådade Einsteins publiceringar från 1905. 

Trots att han skrev om möjligheten att det inte fanns något absolut rum eller absolut tid och att etern inte existerade så fortsatte Poincaré att förutsätta dessa i sina beräkningar och därför så räknas Einstein som den som upptäckte den egentliga relativiteten.

Poincaré fick idén att göra en fyrdimensionell modell av rum och tid, vilken sedan förverkligades av Minowski, och Poincaré gjorde och så ett tidigt försök att omformulera Newtons gravitation inom en relativistik ram.

All kvantfysik och relativitetsteori tycks utspela sej inom Poincaregruppen, som är en symmetrigrupp: "om detta ändras så ändras även det här". Ett specialfall av poincaregruppen är Lorentztransformationerna.

Poincaré undersökte om solsystemet var stabilt eller instabilt men detta var svårt att räkna ut. Han undersökte tre-kroppars-problemet och blev därmed en föregångare till kaosteoretikerna.

Poincarés förmodan var att precis som sfären är den enklaste formen i våra vanliga tre dimensioner och alla lika enkla former kan kontinuerligt omformas till sfärer av topologer, så gäller även samma sak i högre dimensioner.Perelman visade att detta mycket riktigt stämde. Liksom Poincaré så var även Perelman duktig inom både fysik och matematik.

När Perelman visade lösningen så var det en kombination av olika tekniker från olika matematiska discipliner, vilket gjorde mer renläriga topologer besvikna. De hade hoppats på en mer ren topologisk lösning. Kanske var det delvis därför som problemet hade tagit så lång tid att lösa. Många matematiker är bara specialister på sitt eget fält.

Perelman gjorde sitt bästa för att bekräfta bilden av framstående matematiker som galna genier, genom att tacka nej till pris, pengar och intervjuer och bo kvar hemma hos sin mamma.

Det finns ingen praktisk anvädning av denna kunskap idag men matematiker tycker att det är en stor och viktig insikt.

Det finns en koppling till kosmologi dock. Om man drog en tråd genom hela universum och kom tillbaka till samma ställe och knöt ihon ändarna, skulle man då kunna dra in hela tråden och samla den på samma ställe? Eller finns det ett eller flera topologiska hål i universums form som skulle få tråden att fastna?

Man övervägde faktiskt att universum skulle kunna ha dodekaeder-symmetrisk form, men denna obskyra matematiska möjlighet verkar nu vara övergiven.