A pluralistic universe
Fysikern Lee Smolin skriver i sin bok "Three Roads to Quantum Gravity" 2001, att toposteorin är "the right form of logic for cosmology" och att "In its first forms it was called 'intuitionistic logic'". "In this kind of logic, the statements an observer can make about the universe are divided into at least three groups: those that we can judge to be true, those that we can judge to be false and those whose truth we cannot decide upon at the present time".
Ett topos är en liten matematisk värld som följer sina egna lagar. Det visar sej dock att klassisk logik och mängdlära bara visar sej vara ett topos bland andra och att toposteorin befinner sig på en mycket hög generell nivå och att ett topos inte behöver vara en så liten värld. Det som man en gång trodde var en hel matematik och en hel logik visar sej bara vara en matematik och en logik bland flera. (Topoi betyder här olika "platser", ung. som det gör i klassisk retorik.)
"Each topos serves as a `mathematical universe' with an internal logic, which is used to assign truth-values to all propositions about a physical system."
Ett typiskt topos följer intuitionistisk logik medan klassisk logik råder inom mängdernas topos, som skapar mängdläran. Den intuitionistiska logiken får här en sorts revanch efter att tidigare ha kritiserats hårt av inte minst Hilbert.
I klassisk logik så är alla välformlerade påståenden antingen sanna eller falska även om vi inte just nu kan bevisa vilket som är fallet. Enl. intuitionistisk logik så är ett på stående inte sant eller falsk förrän det är bevisat att det är sant eller bevisat att det är falskt. En konsekvens blir att lagen om det uteslutna tredje inte kan förutsättas vara sann; Bara för att ett påstående är falskt så vet vi inte att motsatsen är sann.
"Classical physics arises when the topos is the category of sets. Other types of theory employ a different topos."
Det finns flera rötter till toposteorin. Det är en vidareutveckling ur kategoriteorin som i sej är en vidareutveckling från universell algebra. Viktiga namn är Lawvere och Grothendieck. Whitehead intresserade ju sej för algebraisk geometri men det visar sej vara det fält som är svårast att grunda i axiomatisk mängdlära eller Russell-Whiteheads förenade fundament. Algebraisk geometri bidrog både till grundandet av kategoriteori och till toposteori. Det skedde nu en vidareutveckling i logisk riktning (och även en länk till datalogi). En semantik för ickeklassisk logik som filosofen Kripke hade skapat visade sej ca 1965 höra hemma inom toposteorin. Om kategoriteori knöt samman vitt skillda områden av matematiken med varandra så delade toposteorin upp matematiken i en mångfald olika världar, och tillämpandet av toposteori på fysik innebär en mångfald av olika perspektiv på en och samma värld.
"I'll warn you: despite Chris Isham's work applying topos theory to the interpretation of quantum mechanics, and Anders Kock and Bill Lawvere's work applying it to differential geometry and mechanics, topos theory hasn't really caught on among physicists yet. Thus, the main reason to learn about it is not to quickly solve some specific physics problems, but to broaden our horizons and break out of the box that traditional mathematics, based on set theory, imposes on our thinking."
Toposteori kan lösa många problem. 1936 föreslogs det av bl.a von Neumann att en ny logik skulle skapas som skulle modeleras efter kvantfenomen. Den största skillnaden gentemot klassisk logik var att den logiska distributiviteten inte gällde. Det ledde också till att filosofer började diskutera "Is logic empirical?" Putnam ansåg det och Dummet argumenterade emot. Isham m.fl. skapar nu en quantum topos där logiken återigen är distributiv.
"The topos approach to the formulation of physical theories includes a new form of quantum logic. We present this topos quantum logic, including some new results, and compare it to standard quantum logic, all with an eye to conceptual issues. In particular, we show that topos quantum logic is distributive, multi-valued, contextual and intuitionistic."
"The goal of this paper is to summarise the first steps in developing a fundamentally new way of constructing theories of physics. The motivation comes from a desire to address certain deep issues that arise when contemplating quantum theories of space and time. In doing so we provide a new answer to Heidegger's timeless question ``What is a thing?''.
Our basic contention is that constructing a theory of physics is equivalent to finding a representation in a topos of a certain formal language that is attached to the system. Classical physics uses the topos of sets. Other theories involve a different topos."
"Daseinisation provides the bridge between the standard Hilbert space formalism of quantum theory and the new topos-based approach to quantum theory."
Andra namn i sammanhanget är Steven french, Jeremy Butterfield, Andreas Döring och John Baez.
andra bloggar om
Kommentarer
Trackback