En mångfald, manifold, är ett topologiskt rum som är lokalt euklidiskt. Dvs alla objekt som är lokalt platta men som globalt kan vara andra former, som t.ex runda, är mångfalder. Det euklidiska rummet är en mångfald, liksom cirkeln och sfären.
Begreppet släta mångfalder, smooth manifolds, skapades av Riemann, i mitten av 1800-talet. En slät struktur innebär kontinuitet, som de reella talen, men inte de naturliga.
En slät mångfald är lokalt euklidisk, ungefär som jordklotet lokalt är platt, och liealgebra ersätter den globala "gruppen" med en lokal, linjär version, vilket gör det hela hanterbart.
Liegrupper är grupper som också är släta mångfalder, smooth manifolds. I ett ändligt, finit antal dimensioner. Så hilbertrymden som har ett infinit antal dimensioner är alltså ingen liegrupp. Däremot så är de reella talen en liegrupp, liksom enhetscirkeln.
Och denna smooth manifold är alltså sluten under en operation, för att få kallas grupp.
Groups innebär att man studerar förändringar inom en viss identitet, smooth manifold att dessa förändringar kan vara hur små som helst, och finit antal dimensioner innebär att detta inte tillhör den infinita matematiken.
Liegrupper visar sej vara mycket vanliga och finns i rikligt överallt inom matematiken och fysiken.
Liegrupper är den bäst utvecklade teorin för kontinuerlig symmetri för matematiska objekt och strukturer vilket gör dem vanliga och oumbärliga inom matematik och fysik.
Liegrupper studerades först av Sophos Lie i slutet av 1800-talet. Han hade efter ett tag hjälp an Felix Klein som senare grundade erlangenprogrammet; ännu ett försök att hitta broar mellan olika delar av matematiken.
Lies tanke var att utveckla en teori om differentialekvationers symmetri som skulle klassifiera dem enligt gruppteori, liksom Galois hade gjort för algebraiska ekvationer.
Ungefär som geometriska former kan konstrueras matematiskt och studeras för sin egen skull så kan olika grupper och liegrupper konstrueras matematiskt och studeras för sin egen skull.
När liegrupper blir för stora så går de att dela upp i mindre liegrupper och liegrupper kan därför inte bli hur stora som helst, men de kan bli mycket stora. Exempel på gigantiska liegrupper är E8 och monstergruppen. E8 upptäcktes i slutet av 1800-talet.
E8 har nånting att göra med att packa bollar i åtta dimensioner på tätast möjliga sätt. Varje boll nuddar vid 240 andra bollar. Hela uträkningen av E8 är 60 gigabyte data vilket är ungefär i storleksordningen av en biblioteksvåning.
Herman Weyl jobbade med liegrupper inom fysiken under 1920 och 30-talen.
Eugene Wigner upptäckte så under 1930-talet en naturlig koppling mellan partikelfysik och representationsteori. Representationsteori handlar om linjära projektioner av t.ex grupper på vektorrum. Varje kvantpartikel ses som en representation av universums symmetrigrupp i hilbertrymden. Detta kan bl.a ge en matematisk "förklaring" till hel- och halvspinn. Representationsteori är ännu ett sånt där ämne som visar sej överallt inom matematiken och på många ställen inom fysiken också. Det finns representationsteori för Galilei, Lorentz och Poincarégrupperna.
Standardmodellen skapades bl.a utifrån Weyl och Wigners formuleringar. Liegrupperna SU(2) och SU(3) låg till grund för elektroweak interaction och quantum chromodynamics.
Group Field Theory är en quantum gravity teori som kombinerar en liegrupp med feynmandiagram och är nära besläktad med loop quantum gravity, casual dynamic triangulation och spin foam.
E8 har hittat användning inom strängteori och supergravitation. E8xE8 är en av de heterotiska strängteorierna.
E.S.T.E. är en utomakademisk TOE som akademikerna hittills har varit distanserade till trots att den håller hög matematisk nivå.
Monstergruppen har något att göra med att packa bollar i 24 dimensioner på tätast möjliga sätt. Den förutspåddes 1973 och konstruerades 1982.
1978 upptäcktes samband mellan monstergruppen och elliptiska modulära funktioner. Richard Boucherds bevisade monstrous moonshine förmodan 1998 och visade på djupa samband mellan elliptiska kurvor, monstergruppen och strängteori. Han använde sej av "no ghost"-teoremet från strängteori.
På ett ställe läste jag att monstergruppen har fler element än det finns atomer i Jupiter, på ett annat att den har fler element än det finns kvarkar i Solen. I vilket fall som helst så är det en skitstor grupp.
Såväl E8 som monstergruppen är avvikelser. Lite grann som primtal (och monstergruppen upptäcktes också via primtal.)
Många av undantagen inom matematik och fysik har visat sej ha förbindelser med varandra. E8 är förbunden med monstergruppen via modulära former, och bägge dessa har sina förbindelser med fysik.
The mathematical facts worthy of being studied are those which, by their analogy with other facts, are capable of leading us to the knowledge of a physical law. They reveal the kinship between other facts, long known, but wrongly believed to be strangers to one another. -Poincaré
The scientist does not study nature because it is useful; he studies it because he delights in it, and he delights in it because it is beautiful. If nature were not beautiful, it would not be worth knowing, and if nature were not worth knowing, life would not be worth living. Of course I do not here speak of that beauty that strikes the senses, the beauty of qualities and appearances; not that I undervalue such beauty, far from it, but it has nothing to do with science; I mean that profounder beauty which comes from the harmonious order of the parts, and which a pure intelligence can grasp. -Poincaré
Poincaré var en naturbegåvning inom matematik och även den del andra fält. Han kallas ibland "den siste universalisten" inom matematik (vilket även andra har kallats). När han tog ett av de allra första intelligenstesterna som hans bekante Binet just höll på att utveckla, och fick ett resultat under medel, så ursäktade Binet honom med att matematikprofessorn nog hade haft annat att tänka på. Poincaré hade dålig syn och brukade för det mesta arbeta i huvudet.
Som tänkare var han ganska intuitiv och funderade sällan länge på ett problem innan han gick över till något annat och räknade med att hans undermedvetna skulle fortsätta att jobba på problemet.
Han ville se ett nära samband mellan matematik och fysik och var kritisk till den formalism som Hilbert stod för som en reaktion på Cantors infinita matematik. Mängdteori tyckte Poincaré illa om. Aritmetiken ansåg han vara syntetisk-apriori, liksom Kant.
Däremot vidareutvecklade han topologin och hjälpte till att befästa den som en viktig och central matematisk disciplin under 1900-talet. Topologin studerar former ungefär som geometrin, men utan exakta avstånd. En kvadrat ska ju t.ex ha lika långa sidor och nått sånt finns inte inom topologin. Istället pekar topologer på likheterna mellan kvadrater, trianglar och cirklar, t.ex.
Dessa kan sägas vara "homologa" genom att man t.ex kan forma ett gummiband till dessa olika former, utan att klippa eller klistra i gummibandet. Egentligen är alla objekt homologa som har samma antal hål i sej; så ett "B" är homologt med en "8" osv. "Homotopi" är ungefär samma sak som "homologi"; skillnaden är något för utbildade matematiker att hålla reda på.
Vill man ha lite större likhet mellan objekt så kan topologer istället tala om "homomorfism". "Topologiska objekt" är nästan samma sak som "topologiska rum" och objekt kan även vara så komplexa att de är oavgörbara och man kan t.ex inte räkna hålen i dem.
Även grafteori och knutteori räknas som delar av topologin. Topologin fick tidigt praktisk användning inom elektronik och kemi.
En del hävdar att Poincaré var före Einstein med relativitetsteorin. Redan år 1900 publicerade han en formel som är nästan identisk med E=mc2 och 1902 publicerade han en populärvetenskaplig bok där han tog upp en del saker han jobbat med och som förebådade Einsteins publiceringar från 1905.
Trots att han skrev om möjligheten att det inte fanns något absolut rum eller absolut tid och att etern inte existerade så fortsatte Poincaré att förutsätta dessa i sina beräkningar och därför så räknas Einstein som den som upptäckte den egentliga relativiteten.
Poincaré fick idén att göra en fyrdimensionell modell av rum och tid, vilken sedan förverkligades av Minowski, och Poincaré gjorde och så ett tidigt försök att omformulera Newtons gravitation inom en relativistik ram.
All kvantfysik och relativitetsteori tycks utspela sej inom Poincaregruppen, som är en symmetrigrupp: "om detta ändras så ändras även det här". Ett specialfall av poincaregruppen är Lorentztransformationerna.
Poincaré undersökte om solsystemet var stabilt eller instabilt men detta var svårt att räkna ut. Han undersökte tre-kroppars-problemet och blev därmed en föregångare till kaosteoretikerna.
Poincarés förmodan var att precis som sfären är den enklaste formen i våra vanliga tre dimensioner och alla lika enkla former kan kontinuerligt omformas till sfärer av topologer, så gäller även samma sak i högre dimensioner.Perelman visade att detta mycket riktigt stämde. Liksom Poincaré så var även Perelman duktig inom både fysik och matematik.
När Perelman visade lösningen så var det en kombination av olika tekniker från olika matematiska discipliner, vilket gjorde mer renläriga topologer besvikna. De hade hoppats på en mer ren topologisk lösning. Kanske var det delvis därför som problemet hade tagit så lång tid att lösa. Många matematiker är bara specialister på sitt eget fält.
Perelman gjorde sitt bästa för att bekräfta bilden av framstående matematiker som galna genier, genom att tacka nej till pris, pengar och intervjuer och bo kvar hemma hos sin mamma.
Det finns ingen praktisk anvädning av denna kunskap idag men matematiker tycker att det är en stor och viktig insikt.
Det finns en koppling till kosmologi dock. Om man drog en tråd genom hela universum och kom tillbaka till samma ställe och knöt ihon ändarna, skulle man då kunna dra in hela tråden och samla den på samma ställe? Eller finns det ett eller flera topologiska hål i universums form som skulle få tråden att fastna?
Man övervägde faktiskt att universum skulle kunna ha dodekaeder-symmetrisk form, men denna obskyra matematiska möjlighet verkar nu vara övergiven.
Gauss, ibland kallad matematikernas kung, skapade den differentiella geometrin när han 1828 råkade skapa theorema egregium som visade att man kan bestämma en ytas krökning som en intrinsikal egenskap hos själva ytan utan hänvisning till det omkringliggande rummet.
Om man tittar på en form så är det lätt att se om dess yta är krökt eller platt. Då ser man ytan och formen i rummet. Men vad Gauss gör med theorema egregium är att han blundar och stäcker fram handen och känner på ytan. Hur känns själva ytan? Känns den krökt? Man känner bara relationen mellan olika delar av ytan och tillsamman gör dessa att ytan känns krökt.
Med hjälp av matematik från integral och differentialekvationer så kan man jobba med geometriska former på ett nytt sätt. Detta kallas differentialgeometri. Enbart genom att bestämma avstånd och vinklar på själva ytan så kan man bestämma om ytan är krökt i rummet, utan att matematiskt undersöka ytans krökning i rummet. Man känner bara på ytan, utan att titta.
Differentialgeometrin är viktig för kartprojektioner och förklarar varför ingen platt karta kan återge ytan på en tredimensionell sfär som Jorden. På en sfär så kan man t.ex skapa en triangel med enbart räta vinklar. Det är omöjligt på en plan yta.
Tydligen så är det även differentialgeometrin som förklarar varför en trekantig pizzaslize blir styv om man böjer upp kanterna en aning, och därför lättare att äta.
Riemann närvarade vid några föreläsningar av Gauss och från 1854 började Riemann lägga grunden till riemanngeometri som är en förutsättning för Einsteins relativitetsteori. Riemanngeometri kan räknas som en del av differentialgeometrin.
Differentialgeometri används inom relativitetsteori och inom gaugeteori och även av Perelman när han bevisade Poincares förmodan (genom att hantera universum som en mozarellapizza).
Hermann Weyl (som hade samma älskarinna som Schrödinger) skapade gaugeteorin 1918 (bl.a influerad av Husserls fenomenologi) i ett då misslyckat försök att förena elektromagnetism med gravitationsteori. Gaugeteorin skulle dock överleva och vidareutvecklas.
Under 40- och 50-talen så utvecklade fysikerna gaugefältteorier. Samtidigt så utvecklade matematikerna den differentiella geometrin med begrepp som "vector fields" och "fibre bundles" m.m. Under tidigt 1970-tal så upptäckte man oväntade samband mellan dessa olika forskningsfält. De verkade vara två varianter av samma sak. Likheterna var påtagliga.
Även matematiken influerades av fysiken. Matematiska idéer från gaugeteori inspirerade den uppmärksammade upptäckten av "exotiska strukturer" på den fyrdimensionella riemannsfären 1984. Dvs när en sfär är fyradimensionell så skapas det av någon anledning extra information. Detta skulle kanske kunna ha något med fysiken i vårt universum att göra men området verkar inte vara speciellt uforskat.
18 mars 2010 kungjordes att ryssen Perelman hade löst Poincares förmodan. Han använde sej bl.a av "ricci flow" från differentiell geometri. Men mer om det i en annan postning.
The more things change, the more they remain the same
Tag ett objekt, vrid på det och titta på det från olika håll. Nu har du en grupp av utseenden som du vet är detta objekt sett från olika håll. Det ser lite olika ut från olika håll men är ändå samma objekt.
Tänk dej att jag fotograferar flera olika objekt sett från olika håll och att du sedan ska försöka gruppera fotografierna efter de olika objekt som de visar. Känner du igen objekten så kan det vara lätt, känner du inte igen objekten så kan det vara svårt.
Detta påminner mycket om tillämpning av gruppteori inom geometri men gruppteori kan tillämpas på många andra matematiska områden också. Inom aritmetiken så är de positiva heltalen 1, 2, 3 osv en grupp under additionsoperationen.
Det betyder att om man gör något med ett positivt heltal, plussar ett annat positivt heltal och får ett nytt positivt heltal och aldrig något annat än ett positivt heltal så är alla positiva heltal en sluten grupp så länge som man bara plussar dem med varandra.
Objektet var en sluten grupp om man bara vred på det och heltalen är en sluten grupp om man bara adderar dem. Tittat man bara på ett objekt från olika håll så får man aldrig ett annat objekt och adderar man bara heltal med heltal så får man bara heltal. Så fungerar slutna grupper. Det finns en mängd och en operation av något slag och mängden är sluten under just den operationen. Hur mycket man än vrider på ett objekt så är det ändå samma objekt.
Om man däremot dividerar t.ex 3 med 2 så får man inte ett heltal och om man delar ett objekt i mitten så får man inte samma objekt sedd ur en annan synvinkel, utan två nya objekt.
Detta är rätt enkla exempel för att man ska förstå själva grunderna, men en del av nyttan med gruppteori är att använda den i avancerade, abstrakta sammanhang för att försöka urskilja naturliga sammanhang och grupper inom, svåra, komplicerade matematiska sammanhang.
Gruppteori har under 1900-talet blivit en populär gren av matematiken som det har forskats en del kring och detta beror inte minst på ett nära sammarbete med forskningsfronten inom fysik.
När kvantmekanikens nya främmande värld chockade forskarna i början av 1900-talet så kunde de inte ta nånting för givet längre. De var tvungna att börja om med mycket basala antaganden och frågor. När saker verkade påverkas av att man tittade på dem så verkade allt vara ett gungfly. Einstein visade dock med sin relativitetsteori hur man kunde hitta något varaktigt att hålla sej fast i.
1905-06 upptäcke matematikern Poincaré att tiden kunde representeras som en fjärde dimension i en matematisk modell. Matematikern Minowsky vidareutvecklade idén och omformulerade bl.a Einsteins nyligen publicerade speciella relativitetsteori i fyra dimensioner. Sedan dess så är Minowskys 4-dimensionella rumtid det vanliga sättet att se på rum och tid inom fysiken.
Jag bor två minuters gångväg från mitt lokala ICA. Om jag går dit nu så tar det två minuter och om jag går dit om en timme så tar det också två minuter. Gångtiden förändras inte av när jag gör det. Gångtiden är likadan, symmetrisk, vid olika tidpunkter. Det tar även två minuter att gå hem från mitt lokala ICA. Att gå samma väg från bägge hållen är också symmetriskt.
inom Minoskys rumtid så finns det sammanlagt tio olika "symmetrier", dvs förändringar som inte förändrar nånting. Det tar fortfarande lika lång tid att göra samma sak. Tidigare var vi utanför ett objekt och vred på det utifrån. Nu kan vi säga att vi befinner oss innuti ett objekt och utforskar det innifrån. Objektet är Minoskys rumtid och dess symmetrigrupp kallas för Poincarégruppen. På sätt och vis så är Poincarégruppen elementära självklarheter. Men den utgör också en matematisk grund för Einsteins relativitetsteorier.
Ett mer avancerat exempel på gruppteori utgörmuslimska ornamentmönster. Inom plansymmetrin hittar vi bl.a friesegrupper, dihedral groups och wallpapergroups, m.m.
Muslimska mönster har dessutom släktskap med både kristaller och kvasikristaller.
Redan de gamla grekerna funderade över kontinuiteten. Zenon med paradoxerna visade att antagandet att rummet var oändligt delbart ledde till märkliga konsekvenser, som att förändring och rörelse var omöjligt.
Det kan ha varit Erdmann eller någon annan tysk filosofihistoriker som jag läste för kanske 15 år sen, som satte antik filosofi, speciellt grekisk, mot modern filosofi, speciellt tysk. Medan antik filosofi hade som övergripande ideal den välformade kroppen, anatomisk eller matematisk eller annan, så har den moderna filosofin oändligheten som ideal. För de antika var det oändliga obegränsat, oformat, laglöst och ont. Allt med måtta, var idealet.
Oswald Spengler gör en liknande uppställning i Västerlandets undergång, även om han skiljer mellar fler än två olika kulturer. Mellan antiken och moderniteten ser han t.ex den arabiska och den medeltida kulturen. Enligt honom har varje kultur en unik matematik. Den moderna oändlighetstanken spårar han tillbaka till gotiska katedraler och gregoriansk kyrkosång. Där finns enligt Spengler rötterna till den moderna matematiken.
Aczel skriver i The mystery of the Aleph om hur oändligheten blev grunden för den moderna matematiken iom Cantor och Zermelo. Amir D Aczel spårar oändlighetstanken tillbaka till Zenons paradoxer och till pythagoreerna som upptäckte de irrationella talen. Han skriver även om oändligheten hos medeltida kabbalister vilket visar sig vara en direkt influens för Cantor.
Galileo var den förste matematikern som kom fram till något faktiskt forskningsresultat rörande faktisk oändlighet när han i Om två nya vetenskaper (1638) bevisade att mängden av alla heltal var lika stor som mängden av kvadraterna på alla heltal. Vilket intuitivt låter som en paradox.
Infinitesimalkalkylen och gränsvärdesbegreppet räknar med värden som går mot oändligheten. Den matematiska analysen använder sej av oändliga processer. Infinitesimaler kritiserades redan av Berkeley m.fl (och lustigt nog även av Cantor).
Mängdteori, set theory, behöver inte alls arbeta med oändligheter, men det var därför som Cantor uppfann den. Hans första och sista problem var kontinuiteten, de reella talen. Hans stora upptäckt var att det fanns oändligheter av olika storlek. Kontinuitetens problem löste han dock inte. Mängdteori blev fort väldigt kontroversiell. Såväl den matematiska intuitionismen som finitismen kan sägas ha skapats i opposition till den.
Cantor arbetade på mängteorin från 1874 till 1897. Han bevisade i den första artikeln att det fanns mer än en oändlighet. Såväl mängdbegreppet som oändlighet var känt tidigare men ingen hade gjort någon djupare studie i dessa begrepp. Man antog att de var triviala. I sitt sista arbete så hade han velat bevisa kontinuumhypotesen (CH), men fick nöja sej med att beskriva well-ordered sets och ordinal numbers. Med hjälp av dessa begrep kunde man använda transfinit induktion.
CH var det första av Hiberts 23 problem som han publiserade 1900. Ungefär samtidigt så löste Planck en oändlighetsparadox inom fysiken genom att införa ett begrepp om energikvanta. Samtidigt som Cantor fördjupade kontinuitetsmatematiken så övergick Planck från kontinuitetsmekaniken till kvantmekaniken. Även diskontinuerlig matematik, discomatte, har blivit populärt iom datorernas framväxt.
1899 åkte Cantor in på hospital för andra gången och blev efter det sämre och gjorde inte mycket inom matematik längre. Han tycks ha haft en manodepressiv läggning, hade en del religiösa grubblerier och plågades av illvilliga fiender till sitt arbete. Han dog fattig och undernärd på ett hospital 1918, 73 år gammal. Han hann ändå uppmärksammas och hyllas under sin livstid, t.ex av CS Peirce som själv hade varit inne på liknande tankar, men det var för lite för sent och vägde inte upp för attackerna mot honom.
Jag har sett roligare Venn-diagram.
Lite bättre.
1904 skapade Ernst Zermelo axiom of choise (AC). AC är ekvivalent med wellordering theorem och Zorns lemma. 1905 började Zermelo att axiomatisera mängdteorin. 1922 föreslog två andra forskare oberoende av varandra förbättringar på hans axiom vilket resulterade i Zermelo-Fraenkel set theory (ZF), den mest använda varianten. Om AC ska finnas med så blir förkortningen ZFC.
"The Axiom of Choice is obviously true, the well-ordering principle obviously false, and who can tell about Zorn's lemma?"
— Jerry Bona
Detta är ett skämt som går ut på att många matematiker tycker att AC känns rätt, WoP känns fel och Zorn´s lemma känns omöjligt att avgöra, trots att de bara kan vara sanna och falska samtidigt.
AC tycks ha att göra med att man måste börja någonstans. Det måste finnas en början, ett första tal. T.ex det minsta talet. Men när man räknar oändligheter, vilken oändlighet är då minst? Ett kardinaltal är en oändlighet. Utan AC så kan man inte göra transfinit matematik.
Kurt Gödel visade 1940 att både AC och CH är förenliga med ZF. (Detta betydde inte att han själv gillade CH eller ZF.) Paul Cohen upptäckte 1963 med sin nya metod att varken CH eller AC är bevisbart inom ZF. Tillsammans med Gödels tidigare forskning så visade det att CH och AC bägge är oberoende av ZF, och att man kan lägga till eller ta bort dom som man vill.
Kontinuitetens problem är ännu olöst idag. Att säga att det finns oändligt många punkter i en linje är inte särskilt exakt eftersom det anses finnas oändligt många oändligheter. Vilken oändlighet som motsvara antalet punkter i en linje vet man inte. Åtminstone vissa matematiker tycker att detta är ett stort och viktigt problem att lösa inom matematiken. Ännu idag kan matematik med oändligheter väcka ganska starka reaktioner, inte minst emot. Cantor hade rätt så passionerade fiender bland andra matematiker.
Både Gödel och Cohen misstänker att CH är falsk. Två andra matematiker har lagt fram indicier mot CH. Vad betyder det? En kontinuerlig linje innehåller oändligt många punkter, men vi vet idag inte vilken oändlighet. CH utgör ett minimiförslag. Andra alternativ gör kontinuumet mycket större. Nyligen publicerades en bok som argumenterade för ännu större oändligheter, just med hänvisning till kontinuitetsproblemet.
Paul Cohen dog 23/3 - 2007. Jag tänkte skriva något redan då men det har inte blivit av förrän fyra år senare.
1903 höll Cantor en föreläsning om paradoxer inom transfinit matematik. Dessa paradoxer har ofta framhållits som kritik av hans projekt.
Den sk. krisen för matematikens fundament kring 1900 uppstod för att grundläggande antaganden ledde till paradoxer som verkade mycket svåra att få bort. Krisen är egentligen inte löst idag utan man navigerar i praktiken runt paradoxerna. Matematik är snarare nånting som fungerar i praktiken än ett perfekt system av intern motsägelsefrihet. Transfinita idéer kan användas praktiskt inom en del programmering, annars är detta ren grundforskning för kunskapens egen skull.
Det finns även matematik som går ut på att utforska paradoxala antaganden för att undersöka vilken blandning av ordning och kaos som de leder till.
Cantor blev galen mot slutet, liksom även andra som har jobbat med oändligheten inom matematiken. Problemet ska dock inte romantiseras eller mystifieras som Aczel gör. Man löser inga svåra intellektuella problem genom att sitta och stirra på ett tomt ark i år och decennier. Svåra intellektuella problem löser man på andra sätt. Feynman kollade t.ex på stripshower och rökte braj och det funkade bra för honom.
Cantor var bevisligen influerad av mystiska och religiösa tankegångar när han uppfann mängdläran. Förutom från andra matematiker så fick han även en del vass kritik från teologer, vilket inte var oviktigt för honom.
Matematiker är specialister, vilket innebär att två matematiker från olika matematiska områden inte har så mycket gemensamt att prata om.
Historiskt har flera försök gjorts att skapa en förenande teori för matematiken och även framstående matematiker har uttryckt önskemål åt detta håll. Liksom inom fysiken önskas en Grand Unified Theory.
Idag fungerar mängdlära som en övergripande eller grundläggande teori för matematiker. Den har dock "utmanats" av kategoriteori.
Det finns också mer partikulära brobyggen mellan specifika områden, ett-till-ett-korrespondens, som även de kan få betydande följder. Descartes visade att geometrin kunde uttryckas algebraiskt, vilket några hundra år senare ledde fram till Hilberts Nullstellensatz.
Galoisteori nämns även och Andrew Wiles använde Galois arbete som en grundsten när han 1993 bevisade Taniyama-Shimuras förmodan, som ursprungligen förmulerades 1955 och som knöt samman två vitt skilda områden inom matematiken.
Taniyama-Shimuras förmodan är viktig både för Langlandsprogrammet (skapat 1967) och för något som kallas för monsterous moonshine. Såväl Fieldspriset 2002 som 2010 går till arbeten relaterade till Langlandsprogrammet. Robert Langland föreslog en större mängd samband inom matematik som ännu återstår att bevisa.
En del av resultaten inom Langlandsprogrammet har varit av intresse för fysiker; m-teoretiker och andra.
En viktig poäng med att kunna hitta korrespondenser mellan skilda discipliner är att svåra nötter inom en disciplin kan visa sej lättare att knäcka när de översätts till en annan disciplin.
Marge Simpson gillar homoäktenskap och hon gillar sin syster, så varför gillar hon inte sin systers homoäktenskap? Är inte det ologiskt? Nja, enligt klassisk logik så är Marge inkonsekvent och kanske en hycklare, men det är inte den enda möjliga tolkningen. Hon kan också resonera enligt kvantlogiken som utvecklades av Von Neumann och som inte har den distributiva lagen. Om det låter långsökt så är det faktiskt inte det. Ny forskning antyder att vi alla resonerar kvantlogiskt rätt ofta.
På engelska så finns något som kallas "the guppy problem" och som lyder: det finns sällskapsdjur och det finns fiskar men en guppy är inte det första som man kommer att tänka på angående vare sej det ena eller det andra, men däremot så är en guppy en rätt typisk sällskapsfisk, som är både ett sällskapsdjur och en fisk. Återigen så kan klassisk logik inte beskriva situationen utan fastnar i en paradox, medan ickedistributiv logik däremot klarar av att beskriva situationen.
En liknande situation har vi när vi utför dubbelspringeexperimentet inom kvantfysik där en öppen springa ger ett visst mönster, den andra springan ger ett annat mönster, men bägge springorna öppna samtidigt ger inte en kombination av de två tidigare mönstren utan ett helt nytt mönster. Situationen kan beskrivas på flera olika sätt, bl.a genom att man skapar en ny sorts logik som kan beskriva sammanhanget utan paradox. Vilket var vad Von Neumann gjorde.
Fysikern Diedrik Aerts i Bryssel, har påvisat likheter mellan mänskligt tänkande och kvantlogik. När vi tänker "ologiskt" vilket vi ofta gör , så tänker vi enligt en annan logik än den klassiska.
Detta är en del av en större trend att applicera kvantregler utanför den subatomära världen. I Aberdeen ska de hålla det femte årliga symposiet om QI.
"Quantum Interaction (QI) based on Quantum Theory (QT) is being applied to domains such as artificial intelligence, human language, cognition, information retrieval, biology, political science, economics, organisations and social interaction."
Ekonomer antar att människor är nyttomaximerande egoister men människor verkar ibland vara rätt ologiska. Om man ska försöka att sälja varor och tjänster till folk, kanske i paketerbjudanden, så är det ju bra att ha koll på hur folk faktiskt resonerar. Man kan t.ex inte förutsätta "sure thing principle". "Sure thing principle" hör hemma inom spelteori. (Von Neumann skapade ju både kvantlogiken och spelteorin.) När artikeln nämner Hilbert så verkar de ibland mena Hilberts efterföljare Von Neumann.
Man kan också lägga märke till att trots att artikel heter "why we think like quarks" så levereras ingen sån förklaring. Man bara hävdar att det inte beror på att hjärnan skulle vara kvantfysisk på något sätt (som t.ex Penrose har menat). Kanske kan det istället ge en evolutionär fördel, antyder man vagt.
Datorforskarna Dominic Widdows (nu anställd av Google) och Keith van Rijsbergen (University of Glasgow) insåg för ett decennium sen att när de bygde sökmotorer så använde de sig av matematik liknande kvantfysik.
Widdows, i sammarbete med bl.a Trevor Cohen (University of Texas), har visat att "kvantoperationer" i en semantisk Hilbertrymd är ett kraftfullt verktyg för att hitta tidigare oända associationer mellan begrepp. (En "semantisk Hilbertrymd" kan lite löst beskrivas som ett ordmoln där orden kan kopplas samman hur som helst.) Detta kan t.o.m. leda till datorer som kan göra egna upptäckter.
Sökmotorer kan vara mer behjälpliga om de resonerar som folk, men det kan finnas en ännu större potential hos ickedistributiv logik om den kan få datorer att upptäcka saker av sej själv. Ickedistributiv logik kanske inte är något enbart begränsat till mikrovärlden utan även ett ganska realistisk och välfungerande sätt att beskriva makrovärlden.
Fysikern Lee Smolin skriver i sin bok "Three Roads to Quantum Gravity" 2001, att toposteorin är "the right form of logic for cosmology" och att "In its first forms it was called 'intuitionistic logic'". "In this kind of logic, the statements an observer can make about the universe are divided into at least three groups: those that we can judge to be true, those that we can judge to be false and those whose truth we cannot decide upon at the present time".
Ett topos är en liten matematisk värld som följer sina egna lagar. Det visar sej dock att klassisk logik och mängdlära bara visar sej vara ett topos bland andra och att toposteorin befinner sig på en mycket hög generell nivå och att ett topos inte behöver vara en så liten värld. Det som man en gång trodde var en hel matematik och en hel logik visar sej bara vara en matematik och en logik bland flera. (Topoi betyder här olika "platser", ung. som det gör i klassisk retorik.)
"Each topos serves as a `mathematical universe' with an internal logic, which is used to assign truth-values to all propositions about a physical system."
Ett typiskt topos följer intuitionistisk logik medan klassisk logik råder inom mängdernas topos, som skapar mängdläran. Den intuitionistiska logiken får här en sorts revanch efter att tidigare ha kritiserats hårt av inte minst Hilbert.
I klassisk logik så är alla välformlerade påståenden antingen sanna eller falska även om vi inte just nu kan bevisa vilket som är fallet. Enl. intuitionistisk logik så är ett på stående inte sant eller falsk förrän det är bevisat att det är sant eller bevisat att det är falskt. En konsekvens blir att lagen om det uteslutna tredje inte kan förutsättas vara sann; Bara för att ett påstående är falskt så vet vi inte att motsatsen är sann.
"Classical physics arises when the topos is the category of sets. Other types of theory employ a different topos."
Det finns flera rötter till toposteorin. Det är en vidareutveckling ur kategoriteorin som i sej är en vidareutveckling från universell algebra. Viktiga namn är Lawvere och Grothendieck. Whitehead intresserade ju sej för algebraisk geometri men det visar sej vara det fält som är svårast att grunda i axiomatisk mängdlära eller Russell-Whiteheads förenade fundament. Algebraisk geometri bidrog både till grundandet av kategoriteori och till toposteori. Det skedde nu en vidareutveckling i logisk riktning (och även en länk till datalogi). En semantik för ickeklassisk logik som filosofen Kripke hade skapat visade sej ca 1965 höra hemma inom toposteorin. Om kategoriteori knöt samman vitt skillda områden av matematiken med varandra så delade toposteorin upp matematiken i en mångfald olika världar, och tillämpandet av toposteori på fysik innebär en mångfald av olika perspektiv på en och samma värld.
"I'll warn you: despite Chris Isham's work applying topos theory to the interpretation of quantum mechanics, and Anders Kock and Bill Lawvere's work applying it to differential geometry and mechanics, topos theory hasn't really caught on among physicists yet. Thus, the main reason to learn about it is not to quickly solve some specific physics problems, but to broaden our horizons and break out of the box that traditional mathematics, based on set theory, imposes on our thinking."
Toposteori kan lösa många problem. 1936 föreslogs det av bl.a von Neumann att en ny logik skulle skapas som skulle modeleras efter kvantfenomen. Den största skillnaden gentemot klassisk logik var att den logiska distributiviteten inte gällde. Det ledde också till att filosofer började diskutera "Is logic empirical?" Putnam ansåg det och Dummet argumenterade emot. Isham m.fl. skapar nu en quantum topos där logiken återigen är distributiv.
"The topos approach to the formulation of physical theories includes a new form of quantum logic. We present this topos quantum logic, including some new results, and compare it to standard quantum logic, all with an eye to conceptual issues. In particular, we show that topos quantum logic is distributive, multi-valued, contextual and intuitionistic."
"The goal of this paper is to summarise the first steps in developing a fundamentally new way of constructing theories of physics. The motivation comes from a desire to address certain deep issues that arise when contemplating quantum theories of space and time. In doing so we provide a new answer to Heidegger's timeless question ``What is a thing?''.
Our basic contention is that constructing a theory of physics is equivalent to finding a representation in a topos of a certain formal language that is attached to the system. Classical physics uses the topos of sets. Other theories involve a different topos."
Pythagoras kan göra visst anspråk på att ha grundlagt både filosofin och matematiken, förutom musikteorin och ockulta sällskap osv. Den västerländska filosofin och matematiken har samexisterat i över två årtusenden och har utvecklats parallellt, och kan kanske även uppvisa vissa parallelliteter.
I Pythagoras filosofi så var allt till sitt innersta väsen tal och den matematik som han utforskade var aritmetiken. Att tingens innersta väsen är siffror är kanske mer begripligt idag än någonsin förut nu när naturvetenskapen vill kvantifiera allting och formler anses vara ett mer exakt uttryck för naturen än blotta ord.
Pythagoras sats är dock ett teorem inom geometrin och den satsen var känd långt innan Pythagoras. "Geometri" betyder "jordmätning" och kan ha uppstått när man drog gränser mellan åkrar, trädgårdar och annat. Redan innan pyramiderna så var även geometrin kopplad till arkitekturen.
Pytagoreerna gjorde ett tidigt försök att koppla samman geometri och aritmetik genom att tala om t.ex "tertiära" och "kvartära" tal, men det skulle dröja ända till Descartes innan översättningen skulle vara perfekt.
Pythagoras och matematiken var viktiga influenser för Platon när han skapade den platonska idéläran. Många, som t.ex Heidegger och Whitehead, har betonat matematiken som en viktig influens på den tidiga filosofin. En del har också beklagat detta.
Rationalismen kan sägas ha matematiken som ideal, när man försöker att göra filosofin till ett komplett, slutet system.
Under medeltidens skråväsende så uppstod ett hemlighetsmakeri och mystifierande kring yrkens innersta hemligheter och det är ur dessa tider som frimurarna uppkommer. Hemliga sällskap brukar frikostigt använda sej av geometriska symboler. Geometri är viktigt för arkitekter. Gud ansågs vara den störste arkitekten som hade skapat själva de geometriska formerna.
Ett gammalt sätt att dela in matematiken är i aritmetik, geometri och algebra. Algebran skapas av muslimska matematiker, inte minst Al-Gibran. Algebran är kopplad till koder och lagar. Algebran sprider sej långsamt från aritmetiken till matematiken som helhet, inte minst under den symboliska abstraktionen under 1600-talet. Matematiken som algebra avlägsnar sej från konkret aritmetik och blir en allmän formlära.
Efter den muslimska matematikens storhetstid så händer inget lika filosofiskt förrän Descartes skapade den analytiska geometrin. Kropp och själ förhåller sej till varandra som extension till intention, som kurvan i en graf till en formel.
Men även om Descartes ofta kallas den moderna filosofins fader så är det Leibniz som är den moderna matematikens fader. Leibniz skapar funktionen och analysen. Infinitesimalbegreppet kan sägas vara en parallell till monaden. Den matematiska funktionen kan kanske vara ett frö till hans mathesis universalis. Efter Leibniz delas matematiken in i geometri, algebra och analys.
Biskop Berkeley chockade genom att skriva att vi bara ser världen tvådimensionellt. Det vi ser beskrivs av den projektiva geometrin, medan euklidisk geometri under hans tid ibland kallades "känslans geometri". Han kritiserade även infinitesimalkalkylen.
Trigonometrin är med Pythagoras sats en av de allra äldsta disciplinen inom matematiken, men den hade inkorporerats i den komplexa analysen av Euler från 1748 till 1782. Hegel studerade trigonometri 1787, sfärisk dessutom, när han var 17 år gammal och hans senare filosofi har några likheter med trigonometri. Inom trigonometri arbetar man med tangent, sinus och cosinus. Har man två sidor kan man räkna ut den tredje, har man två vinklar kan man räkna ut den tredje. Sin, cos och tan används även för att räkna ut regelbundna svängningar. Därav t.ex uttrycket "sinusvåg". Så tre element leder alltså fram till en periodisk svängning mellan extremer i en historisk utveckling. Ungefär som i Hegels filosofi.
Whitehead skapade den punktfria mereotopologin som enligt honom själv är en viktig del av av hans "organic philosophy", eller "processfilosofi" som den brukar kallas.
Russell, Badiou och Langan har alla tre använd någon tolkning av mängdläran inom sina filosofier.
Ingen yrkesfilosof har vad jag vet ännu inspirerats av kategoriteorin men Chris Isham är en rätt filosofisk fysiker som har introducerat toposteorin inom kvantmekaniken. Mer om detta senare.
Även om varken Whiteheads matematik eller hans filosofi är direkt bortglömda så har jag sällan om någonsin sett de relateras till varandra. Vad jag menar är t.ex att hans minsta fenomen inom filosofin, acctual occasions, kan ses som en motsvarighet till hans uppfinnande av punktfri matematik, som saknar matematiska punkter. Det minsta rumsbegreppet blir då ett litet område av något slag, som ingenting kan vara mindre än. Whitehead själv gör ju explicit denna koppling i Process and reality, men förutom honom så har åtminstone bland filosoferna få intresserat sej för hans matematik.
Whitehead var med och skapade den universella algebran (även om den har utvecklats mycket sedan dess). Den universella algebran är en föregångare till kategoriteori, som är en mycket intressant "ny" disciplin inom matematik. Fastän den är ett halvsekel gammal så är den inte så känd utanför matematikkretsar.
Kategoriteori handlar om att jämföra vitt skilda discipliner inom matematik för att hitta gemensamheter och övergripande strukturer. Det visar sej att likartade tankegångar har upptäckts och uttryckts ett flertal gånger inom olika matematiska discipliner.
Matematiker kan även använda kategoriteori för att låna lösningar från andra matematiska discipliner som har arbetat med besläktade problem. Att som Descartes gjorde, upptäcka hur man översätter aritmetiska formler till visuella grafer och tvärtom, kan göras på ett regelmässigt sätt inom kategoriteori. Den vanligaste metoden kallas "diagram chasing" men det finns även andra.
Kategoriteori har även kommit att användas inom datavetenskap och programmering. Kategoriteori har tydligen många likheter med funktionell programmering. Termen "monad" t.ex inom funktionell programmering är hämtad från kategoriteori. Även om kategoriteori är en form av extra abstrakt och övergripande matematik så är funktionell programmering bara ett programmeringsparadigm bland andra. Visserligen har akademiska vetenskapsmän föredragit funktionell programmering och visserligen sägs det vara en speciellt biproduktsfri form av programmering, men det är ju ingen metadisciplin som kategoriteori tycks vara.
Whitehead skapade även pointless mereotopology, där "pointless" innebär att man undviker att använda matematiska punkter utan istället talar om områden frames and locales, generaliserade rymder. (Wikipediasidan pointless topology är i kategorin category theory.)
Uttrycket "pointless" (eller "pointfree") har sedan lånats över till "pointless programming", även kallad "tacit programming" som är en ekonomisk, kompakt programmeringsstil där man inte skriver saker i onödan. Funktioner utan argument. Argument betyder här "punkter" eller "numeriska värden".
illustration:
f(x)=x+1
pointless: f=+1
Tacit programming är ett exempel på funktionell programmering.
Så i tacit programming möts alltså två idéhistoriska trådar som går tillbaks till Whitehead. Finns det då något hos funktionell programmering som påminner om Whitehead eller processfilosofi? Kanske ett fokus på händelser snarare än tillstånd? Har ett programmeringsparadigm en ontologi? Inte vet jag. Jag är inte tillräckligt inläst. Så om någon har några tankar, håll dom inte för er själva. Charing is caring.
Den italienska renässansen började med figurer som Dante, Petrarca och Giotto. Den senare var en målare och arkitekt som återuppväckte det realistiska idealet i måleriet och som var den förste som försökte sej på perspektiv och djupkänsla i sina målningar. Helt fulländad var hans teknik dock inte.
Ungefär ett sekel senare så lyckades Brunelleschi kring 1425 att uppfinna perspektivet på ett helt korrekt sätt. Hans metod beskrevs för första gången 1436 i Leone Battista Albertis bok Om bildkonsten. Ca 200 år senare skulle detta inspirera en ny matematisk disciplin.
Det var ganska svårt att återskapa hur vi faktiskt direkt upplever saker. Den tredimensionella rymd som vi lever i når bara vår syn som en tvådimensionell projektion. för att få saker att se realistiska ut så måste de avbildas tvådimensionellt.
Renässansens arkitekter och målare frågade sej själva hur de skulle återskapa tredimensionella objekt på en tvådimensionell yta. Som svar föreslog Leone Battista Alberti följande procedur: sätt en glasskiva mellan dej och ett objekt, stäng ena ögat, och teckna på glaset vad du ser.
Albertis metod har kallats projektion och sektion: först tecknar vi bilden som når ögat från objektet. Eftersom vi kan flytta ögat och glasskärmen så får vi flera olika tvådimensionella representationer av det tredmensionella objektet.
Ett intressant problem, som Alberti själv tog upp, är att hitta de gemensamma egenskaperna hos alla dessa olika representationer. Det är samma fråga som datorvetenskapsmän ställer idag. Dagens datorforskare frågar hur man kan få en dator att känna igen att två olika bilden representerar samma objekt ur olika synvinklar.
Centralperspektivet är mer betraktarcentrerat (korrelationisktiskt) medan tidigare medeltida konst hade varit mer objekt-orienterad och inte hade varit lika bekymrad om relationerna mellan objekten. Istället för att avbilda det rationella objektet i-sej avbildades det empiriska objektet för-mej. Avbildningar med korrekta perspektiv upplevs också som mer realistiska, dvs vi känner igen dem som det sätt världen upplevs på.
Projektiv geometri utvecklades av Desargues och andra i deras utforskande av principerna för perspektivistisk konst.
Johannes Kepler och Gerard Desargues utvecklade oberoende av varandra det avgörande begreppet "punkt vid oändligheten". Kepler introducerade punkten vid oändligheten 1604 i en diskussion om koniska sektioner.
Desargues var ingenjör, arkitekt och matematiker. Desargues konstruerade det allra första teoremet inom projektiv geometri och uppfann därmed en ny matematisk disciplin, vilket uppmärksammades först långt efter hans död. Hans arbete återupptäcktes och återutgavs 1864.
Desargues utvecklade ett alternativt sätt att konstruera perspektivteckningar (1639). Han gjorde euklidisk geometri, med parallella linjer, till ett specialfall av ett allomfattande geometriskt system. Desargues arbete med koniska sektioner drog till sej uppmärksamheten från 16-årige Blaise Pascal och hjälpte honom att formulera Pascals teorem (1640).
I äldre litteratur kallas projektiv geometri ibland "högre geometri", "geometry of position" eller "deskriptiv geometri".
Under 1700-talet hände ingenting inom projektiv geometri. Ämnet var dock populärt under 1800-talet. Under 1900-talet ansågs det uttömt men har inte minst tack vare datorgrafik blivit intressant igen.
Jean-Victor Poncelet publicerade den projektiva geometrins grundande avhandling 1822. (183 år efter Pascals insats.)
De första fyra axiomen är alltså samma som i euklidisk geometri, men istället för parallellaxiomet, som säger att endast en typ av vinkel av parallella linjer aldrig möts, så har vi det projektiva axiomet som säger att alla raka linjer möts och endast en gång.
(Projektiv geometri påminner t.ex lite om riemansk geometri, där dock vilka två raka linjer som helst alltid möts exakt två gånger.)
Det projektiva axiomet: Vilka två linjer som helst möts ( i exakt en punkt).
Grundläggande projektiv geometri handlar bara om punkter och linjer men i högre dimensioner så kan man även tala om olika hyperplan.
De icke-euklidiska geometrierna som upptäcktes kort därefter bevisades till sist ha modeller, som Klein-modellen för hyperbolisk rymd, som relaterade till projektiv geometri.
Projektiv geometri är den mest generella och minst restriktiva i hierarkin av de fundamentala geometrierna; euklidisk, metrisk (likhet), affinitiv och projektiv.
Projektiv geometri och ordnad geometri är elementära eftersom de innehåller ett minimum av axiom och kan var för sej användas som grund för affinitiv och euklidisk geometri. Eftersom projektiv geometri inte är "ordnad" så är det en distinkt grund för geometrin.
Eftersom projektiv geometri utesluter kompasskonstruktioner så finns det inga cirklar, inga vinklar, inga mätningar, inga paralleller och inget begrepp om att vara mitt i mellan nånting.
En av de märkligaste egenskaperna är att alla propositioner inom projektiv geometri förekommer i par, med egenskapen att om man startar från ena propositionen så får man genast den andra propositinen om man byter ut orden "punkt" och "linje" mot varandra.
Till exempel, det basala axiomet att " för varje par av punkter så finns det en unik linje som går igenom bägge dessa punkter", blir när man vänder på det "för varje par av linjer så finns det en unik punkt som går igenom (dvs ligger på) bägge dessa linjer".
Projektiv geometri formaliserar i synnerhet en av den perspektivistiska konstens centrala principer: att parallella linjer möts vid oändligheten och därför ska tecknas på det sättet.
Alla linjer möt en och endast en gång. Om man nu ska göra en tredimensionell tolkning av en tvådimensionell yta så måste linjer som går in i den tredje dimensionen, bort från betraktaren, mötas. Djupdimensionen markeras endast av dylika linjer. Tolkningen blir att de möts först i slutet av den tredje dimensionen, dvs vid oändligheten.
Att två linjer möts exakt en gång kan härledas ur dualitetspcincipen, men hur ska man förklara den?
(Jag klottrade ner detta:
"projektiv geometri handlar om att ta bort eller tillföra en dimension, och punkter och linjer är egentligen samma sak, med en dimension mer eller mindre."
I wikipedia så står det så här:
"That is, in a projective space of dimension n, the points (dimension 0) are made to correspond with hyperplanes (codimension 1), the lines joining two points (dimension 1) are made to correspond with the intersection of two hyperplanes (codimension 2), and so on.")
Det tidiga 1800-talets projektiva geometri var ett steg på vägen från analytisk geometri till algebraisk geometri.
Under senare 1800-talet så blev det detaljerade studiet av projektiv geometri mindre på modet , fast litteraturen fortfarande var omfattande.
För tjugo år sedan så verkade projektiv geometri mest ha historiskt värde men idag så är projektiv geometri ett populärt ämne hos matematiker och datorforskare. Detta beror på nya tillämpningar av datorgrafik och att geometri och geometriskt tänkande återigen är på uppgång. Dessutom så har datorexperter återgälldat tjänsten genom att bidra med verktyg för att visualisera och sprida matematik.
Projektiv geometri uppfanns när man försökte att - till skillnad från euklidisk geometri - återge hur världen faktiskt ser ut ur ett mänskligt perspektiv.
Man fick då den mest grundläggande och generella geometrin.
Man kan faktiskt aldrig se två parallella linjer. Drar man ut vilka två linjer som helst tillräckligt långt så ser de alltid ut att mötas.
Projektiv geometri kan även få direkt fysisk manifestation i olika ljussammanhang (som ögat) så det är inte någon verklighetsfrämmande teoretisk konstruktion.
Även om delar och helheter har diskuterats sedan det antika Greklands dagar så brukar det heta att Husserl uppfann mereologin som senare främst har utvecklats av programmerare. Trots att den formella mereologin är en del av matematiken, en sorts "proto-geometri", så har den utvecklats av logiker, ontologer, ingenjörer och datavetenskapsmän, speciellt med inriktning mot artificiell intelligens. Husserl hävdade aldrig att matematiken borde grundas i mereologi snarare än mängdlära.
Även Whitehead gjorde en tidig insats inom mereologin när han uppfann mereotopologin, antagligen inte influerad av Husserl som han inte verkar ha läst. Whitehead planerade en fjärde del av Principia Mathematica, om geometri, som aldrig genomfördes. I haans efterlämnade korrespondens verkar hans avsikter ha varit essentiellt mereologiska. Senare publicerade han sina mereologiska tankar från och med 1916, "La Theorie Relationiste de l'Espace". Om man blandar in topologiska tankar om gränser och förbindelser med mereologi så får man mereotopologi och Process and reality från 1929 innehåller en hel del informell mereotopologi.
Trots att både Husserl och Whitehead visste en del om matematik i den högre skolan så var det en tredje person som fick skapa den matematiska mereologin. Tyvärr skapade Lesniewski mereologin som ett slags alternativ till Cantors mängdlära som han inte alls gillade. Han ville istället ha mereologin som grund för matematiken. Han började publicera texter om mereologi från 1916 och myntade termen "mereologi" 1927.
Detta har lett till den felaktiga uppfattningen att bägge inte kan "gälla" samtidigt och eftersom mängdläran under 1900-talet var varit mycket framgångsrik så har mereologin som matematisk disciplin haft dåligt rykte och försummats. Istället är det programmerare och metafysiker som har ägnat sej mest åt mereologi. I själva verket så kan mycket inom mängdlära omformuleras till mereologi och viseversa. Alfred Tarski och Rolf Eberle är de enda utbildade matematikerna som har skrivit om mereologi.
Medan mängdlära handlar om relationen mellan mängder och deras element så handlar mereologin om den mereonomiska relationen mellan objekt, vilket mest liknar mängders inklusion av andra mängder. Om "parthood" inom mereologin tolkas som "delmängd" inom mängdläran så finns det analogier mellan Zermelo-Fraenkels axiom om mereologi. Ungefär som att det går att skapa en "naiv" mängdlära så går det att skapa en "naiv" mereologi som har paradoxer liknande Russells paradox inom mängdläran.
I utvecklad mereologi så är Russells paradox dock inte något problem som i mängdlära. Lustigt nog så är varje objekt en del av sej själv. Olika objekt i mereologi anses av de flesta kunna kombineras i en större helhet, "sum", och om man i sista hand kombinerar allt som finns i ett objekt, "top", så är det en del av sej själv. Detta är inte oklart som inom mängdläran, där mängden av alla mängder både är och inte är en del av sej själv. Parthood anses oftast reflexivt.
Partiall ordering:
Everything is part of itself (reflexivity)
Any part of any part of a thing is itself part of that thing (transitive)
Two distinct things cannot be part of each other. (antisymmetric)
De flesta som har skrivit om mereologi tycker att "top" är oproblematiskt men däremot inte "bottom", eller postulerandet av atomer utan delar, som man ofta förkastar, efter Lesniewkis förebild.
"We never reach some final layer of tiny components that explains everything else, but enter instead into an indefinite regress of parts and wholes."
"Instead, we have a universe made up of objects wrapped in objects wrapped in objects wrapped in (…)"
En skillnad mellan mereologi och mängdlära är att mängdlära handlar om abstrakta "mängder", samlingar av något annat, som ofta också antas vara "mängder." Mängdlära har ett "abstrakt" bias. Mereologi däremot är neutralt angående konkrethet och abstrakthet och även angående samlingar kontra bara en unik individ med delar.
1930 beskrev Henry Leonard i USA en formell teori om del-helhet-relationen. 1940 hade han och Goodman utvecklat "the calculus of individuals". Goodman och Quine försökte 1947 att härleda de naturliga och reella talen ur calculus of individuals, men lyckades inte så bra. The calculus of individuals är startpunkten för det nya intresset för mereologi från 1970-talet, hos logiker, dataontologer och datavetenskapsmän.
Inom programmering så är objekt-orienterad-programmering ett programmeringsparadigm där mereologi är extra viktigt. Datastrukturer, procedurer och annat kapslas in i prydliga lådor som sedan kan hanteras som legobitar när man programmerar. Man talar om "encapsulation" i "object". Syftet med detta är egentligen bara att göra det lättare för den stackars programmeraren. Objektet föreklar livet för programmeraren genom att ha vissa offentliga egenskaper och vissa privata. Objektet gör sitt jobb under sekretess. När man skapar nya objekt så kan man åberopa redan existerande obekt och låta det nya objektet ärva egenskaper från redan existerande objekt.
Tydligen så är mereologisk essentialism, presentism och "stuff-ism" (ung. anti-objekts-orientering) en rätt problemfri kombination. Kanske av intresse för spinozister och andra vardagsmaterialister.
Även inom generell system teori (GST) så finns det något som kallas "mereologi" och som handlar om systems delar och helheter och gränser.
Människor har svårt att bedömma sannolikheter. Det har sagts att de flesta former av spel och dobbel bara är som extra skatt för folk utan sinne för proportioner. Hur rädda folk är för olika faror står inte i någon proportion till hur sannolika dessa hot är.
Den matematiska sannolikhetsteorin har bara utvecklats de senaste fyrahundra åren, även om intuitiva tillämpningar har förekommit sen hedenhös.
Sannolikhetsläran har kallats "talens fysik" och det blir ju extra intressant ju mer det verkar som om fysiken i sista hand handlar om information. Pythagoras kanske visste vad han talade om.
Vi lever nu i en sannolik värld. Jag vet inte när det hela började. Jag vet att den antika skeptiska filosofiska skolan med tiden utvecklades till den epistemologiska positionen probabilism, dvs "troligtvis-ism", vilket definitivt har med en sannolik världsbild att göra.
Sannolikhetsrevolutionen började inom samhällsvetenskapen och hasardspelet, spred sig till medicin och biologi och nådde så fysiken i början av 1900-talet. Vanligtvis så brukar radikala revolutioner börja inom fysiken och sedan sprida sig till kemin, biologin osv.
Fermat och Pascal brukar anses vara sannolikhetsteorins grundare med ett verk som publicerades 1654. Decenniet efter så publicerades Gerolamo Cardano's "Liber de ludo aleae" (boken om hasardspel) vilken dock hade skrivits redan på 1500-talet.
Slüssmilch beskrev 1741 i sitt verk Göttliche Ordnung (Gudomlig Ordning) stabiliteten i en mängd olika statistiska kvoter: Döda/döpta, pojkar/flickor osv och tolkade den som ett verk av guds försyn. Redan 1713 hade dock Jakob Bernoulli framlagt den idag aktuella tolkningen av fenomenet, nämligen De stora talens lag.
De stora talens lag - Varför samlas utfallen kring någon förväntad fördelning i längden? Detta är, återigen, inte någon järnhård lag utan en sannolik förväntan. Är inte detta att förutsäga framtiden? (Fluktuerar statistiken kring en nollpunkt i fasrummet som en gyro gör i det fysiska rummet?)
Termen statistik myntades 1749. Sannolikhetsläran fortsatte att utvecklas. Normalfördelningen blev fast etablerad av Gauss 1809 och Laplace härlede därav Centrala Gränsvärdessatsen. En konsekvens blev minstakvadratmetoden som skattningsmetod. På den vägen har det fortsatt, med regressionsanalys och korrelationsanalys osv. Den nya matematiska vetenskapen visade sej ha stora praktiska tillämpningsområden.
Laplace och Gauss använde Bayesianska resonemang, dvs gav parametrarna sannolikhetsfördelningar på förhand och nyttjade Thomas Bayes formel.
Thomas Bayes (1702-1761), har givit namn åt den bayesiska tolkningen av sannolikhet. Sannolikhetsbegreppet har utforskats grundligt matematiskt men vad betyder det egentligen mer semantiskt?
Frekventialister tillskriver sannolikheter till slumpmässiga händelser enligt deras infallsfrekvens. Bayesier tillskriver sannolikheter till osäkra påståenden, vilket oftare är ett användbart resonemang. För frekventialister har "sannolikhet" ingen mening annat än för att uttrycka relativa frekvenser i ett stort antal observationer. Både Bruno de Finetti och Frank Ramsey formulerade oberoende men samtidigt den bayesiska sannolikheten som "subjektiv grad av tro på ett påstående".
Man kan se en motsättning teoretisk rigiditet och praktisk användbarhet. Bayesisk metod är mer tillåtande och mindre rigid är frekvensialismen men uppnår i praktiken lika hållbara resultat trots det. Det tycks alltså finnas någon form av objektiv överrensstämmelse mellan hur säkra vi är på något och hur ofta det kommer att vara sant, trots att detta i strikt mening är två olika saker.
En del anser att den vetenskapliga metoden är ett exempel på ett tillämpat bayesisk resonemang eftersom nya observationer eller experiment gör tidigare vetenskapliga hypoteser mer eller mindre sannolika. Kan skepticistisk probabilism sägas vara föregångare till bayeusisk analys?
Noga räknat så finns det fler än bara två alternativa synsätt inom sannolikhetsteori. Denna mångfald av möjligheter kan även leda fram till olika tolkningar i tillämpningen.
Inom kvantfysiken verkar snart sagt alla lagar vara av sannolik natur och ingen tvingande i det enskilda fallet. Kausalitet blir då bara ett specialfall av de stora talens lag.
Alla grundläggande fysiska lagar är tidssymmetriska, både i klassisk mekanik och kvantmekanik. Att entropin enligt termodynamikens andra lag tenderar att öka över tiden har använts som en definition av själva tiden - den termodynamiska irreversibiliteten. Men detta tycks i själva verket vara ett statistiskt samband. Vilket innebär att lokala avvikelser kan förekomma. Själva resonemanget förutsätter dock bayesiansk sannolikhet.
Om man antar att kosmos i sin helhet är på väg mot värmedöden så säger detta egentligen ingenting om entropin ökar eller minskar lokalt. Även när tiden går mot oändligheten är det troligt att lokala öar av minskande entropi kommer att förekomma. En hård frekventialist kan inte dra några slutsatser alls i diskussionen.
2002 visade ett laboratorieexperiment ett resultat som inte förutsades av termodynamikens andra lag men däremot av FluktuationsTeoremet. En av flera konsekvenser av FT är att mycket små maskiner, som nanomaskiner eller mitrokondrier, i själva verket kommer att gå baklänges en del av tiden.
Vad är egentligen en sannolikhet, rent ontologiskt? Är det något subjektivt eller objektivt? Är det en epistemologisk konstruktion eller ett metafysiskt faktum? Är det samma sak som en vågfunktion och är en vågfunktion sammanfattningen av alla möjliga utfall i alla möjliga världar? Frågor att fundera kring i ett samhälle som alltmera tycks fokusera på risker.
Differential geometry is the study of smooth manifolds, usually in many dimensions -- it's calculus on steroids. There are ways of classifying symmetric manifolds, and this links up with all other branches of mathematics; so differential geometry is sort of a hub where a lot of mathematics comes together. Now, there is one manifold in particular -- the largest simple exceptional Lie group manifold, E8 -- that is the most beautiful. The system of roots in the picture I sent you describes the 248 symmetries of E8. What I'm working on is identifying each of the elementary particle fields of the standard model and gravity as one of these symmetries. It turns out that this match is... perfect, as far as I've been able to tell. This model is very new, and there are still things I don't understand about it, but it looks perfect so far. You have to be very careful with these things though, as they can encounter a fatal difficulty at any turn -- and when theory contradicts experiment, or requires unreasonable revision, you have to toss it and move on. But this theory of fitting all the standard model and gravitational fields into E8 is working very well so far.
Det finns en koppling mellan Gödels ofullständighetsteorem och datalogins grunder. Alan Turing, datavetenskapens fader, skapade datalogin med sin idé om en universell maskin. Hans teoretiska modell av en universell maskin, Turingmaskinen, kan beräkna allt som går att beräkna, men precis som Gödel så kommer Turing fram till att allt inte går att beräkna/bevisa.
Det finns ett grundläggande problem som kallas the halting problem, som inget program någonsin kan lösa. Given en beskrivning av ett program och en ändlig inmatning, avgör om programmet kommer att stanna eller kommer att köra för evigt, givet den inmatningen. Har man bara Turings resultat så få man Gödels resultat på köpet. Själva kärnan i Gödels ofullständighetsteorem är bara två rader lång. Kruxet är att man först måste ha konceptet med en dator innan man kan ge två-rads-beviset.
Så? Man får ett paradigmbyte inom matematiska bevis från klassiska QED-resonemang till brute force.
Fermats gåta var det sista klassiska problemet och fyrfärgsproblemet var det första som bearbetades med rå datorkraft.
Logik har studerats av bl.a indier, araber och även av gamle Aristoteles. Han sammanfattade syllogismläran som under årtusenden var kärnan i logiken som den lärdes ut.
Trots att datorer inte fanns på Booles tid så har han i efterhand kommit att betraktas som en av datalogins grundare. Boolesk algebra är nämligen grunden för all modern datoraritmetik.
Ca 70 år efter Boole så upptäckte Claude Shannon boolesk algebra när han läste en filosofikurs. Shannon visade senare hur boolesk algebra kunde optimera designen av system av elektromekaniska kretsar som användes i telefonkopplingsstationer. Han visade också hur kopplingskretsar kunde lösa booleska algebrauppgifter. Att låta elektriska kretsar lösa logiska problem är grundidén i alla digitala datorer idag. Hade inte Boole funnits så hade någon annan behövt göra hans jobb.
Efter Boole så har den moderna logiken blivit en matematisk logik och betraktas ofta som en del av matematiken. Matematisk logik är också mycket nära relaterat med datorvetenskap.
På denna uppställning ur en föreläsning så kan man se hur olika sorters logik är besläktade med olika sorters programspråk/funktioner.
More than a coincidence? second-order logic polymorphism Java Milner modal logic monads XML Moggi,Buneman classical logic continuations Links Plotkin
Samma författare påstår här att logiska bevis kan betraktas som en sorts program: Proofs are programs.
Java, xml och länkar är element i internet, och det är där vi idag har hamnat när vi har följt forskningstraditionen efter Aristoteles Organon.
"Physical insights about Calabi-Yau manifolds, especially mirror symmetry, led to tremendous progress in pure mathematics."
Matematiker utvecklar nya typer av matematik ur tomma intet och gamla former av matematik. Dessa nya former av matematik visar sej ibland gå att använda praktiskt, t.ex för att beskriva nya former av fysik. Visst låter det ganska vettigt? Men ibland så är det inte alls så.
Inom strängteori och m-teori så har fysikerna flera gånger förekommit matematikerna. 1988 gjorde några fysiker, (Dixon, Lerche, Vafa, Warner) en iaktagelse om att olika Calabi-Yau-former skulle kunna ge samma fysika resultat. Först i efterhand har matematiker konstaterat att olika Calabi-Yau-former kan ha en matematisk spegelsymmetri som kan förklara detta.
Matematikerna försöker ännu att utveckla en matematisk förklaring varför spegelsymmetrin inom calabi-yau rummen existerar.
Brian Greene utvecklade en teori om bristningar i rumtidväven, som handlade om Calabi-Yau-former och hans tillämpade matematik för fysisk forskning kunde sedan översättas till ren matematisk grundforskning. (s.333) Brian Greene som personligen var en av fysikerna som var med och influerade matematiken beskriver händelserna i sin utsökta bok Ett utsökt universum (s.315 -346).
Sålänge som strängteorin krävde 10 dimensioner var calabi-yau-rummen intressanta men när strängteoretikerna började luta åt 11 dimensioner så handlar det egentligen om Joyce manifolds, som är sju-dimensionella och kan förklara de saknade sju dimensionerna mellan de fyra vi upplever och de 11 som ska finnas.
Manifold är t.ex sfärer eller torsos, dvs munkar eller badringar. Sfärer har noll hål och munkar har ett hål. Antalet hål kallas genus och kan vara hur stort som helst. Detta är topologins grunder.
Dessa manifolds kan nu studeras i högre dimensioner. En fyrdimensionell sfär t.ex. Eller en sexdimensionell genus-3-manifold, som jag tror är ett calabi-yau-rum. Att det finns tre familjer av elementarpartiklar kan vara kopplat till tre "hål" i calabi-yau-rummet.
Joyce manifolds är exempel på en sju-dimensionell riemann-manifold. Riemann var ju aktuell i min förra post om empirisk matematik. Einstein beskrev universum som en riemann-sfär, alltså en sorts 4-dimensionell riemann-manifold. På en riemannsfär så blir en rak linje som dras ut tillräckligt långt sluten, som en horisont, en geodesic. Föreställ dej nu detta i sju dimensioner.
Joyce själv beskriver sin forskning ganska kortfattat och lättillgängligt här: "Much to mathematicians' surprise, the conjectures seem to be true."
Matematik sägs vara en apriorivetenskap, kanske t.o.m. den enda apriorivetenskapen, och med det menas att den är en ren skrivbordprodukt och att man som matematiker aldrig behöver gå ut i världen och undersöka den med sina egna sinnen. Det är fullständigt onödigt att mäta volymen i en kub med sidan en decimeter och konstatera att det blir en kubikdecimeter. Det säger sej självt. Traditionellt brukar logik även anses vara en apriorivetenskap, men det är möjligt att logik i själva verket är en del av matematiken.
På senare tid har det dock hänt en del saker som har problematiserat matematikens ställning som ren apriorivetenskap. Kanske började det redan med Euklides parallellaxiom. Det har aldrig haft samma självklara ställning som de första fyra axiomen i hans Elementa. Genom århundraden har matematiker gjort olika försök att bättra på parallellaxiomet.
Det var dock först Gauss, framstående inom både matematik och fysik som gav sej på galenskapen att rent fysisk mäta vinkelsumman i en triangel för att se om det verkligen blev 180 grader. På papperet blev det visserligen det, men det skulle ju kunna finnas en liten avvikelse som bara kunde upptäckas på en riktigt stor triangel. Så Gauss mäter vinklarna mellan tre bergstoppar i Hartz, och kommer fram till att det blir 180 grader. Dock finns det en liten felmarginal, som det tenderar att göra när man ägnar sej åt empiri.
Detta kan låta som en galen övning men faktum är att Einstein skulle ha sagt att Gauss triangel bara var för liten. Ju större triangel vi har desto större vinkelsumma har den. Enligt Einstein så är nämligen universum en Riemannsfär. Riemann, elev till Gauss, var en av de matematiker som upptäckte den icke-euklidiska geometrin, där det antingen finns noll vinklar som gör linjer parallella, eller fler än en parallell vinkel. Riemanns geometri saknar parallella vinklar vilket gör att alla linjer möts till sist om de dras ut tillräckligt långt. Euklides parallellaxiom hade visat sej bara vara ett av flera alternativ.
Såsom redan Gauss anade så innebär detta att man kan bedömma universums form genom att mäta vinkelsumman i en triangel. När Einstein skapade sin Relativitetsteori så använde han sej av riemannsk matematik, med följden att han beskrev en riemannsk fysik för en riemannskt universum. Idga är det snarast en öppen fråga exakt vilken fom vårt universum har och vilken geometri som i sista hand är den rätta för detta universum.
I sin "Kritik av det rena förnuftet" så hade Kant hävdat att tid och rum var apriori-intuitioner. Påståendet "two straight lines can neither contain any space nor, consequently, form a figure" är sant men omöjligt att bevisa analytiskt, hävdar han.
Det är ett exempel på ett syntetiskt-apriori-påstående. Geometrin utforskar vår aprioriintuition av rummets egenskaper. Hade vi ingen apriori-intuition så vore geometri en empirisk vetenskap och geometriska påståenden vore inte universella. Han antar dessutom att universum antingen är ändligt eller oändligt. Inte heller detta är enkelt sant i ett icke-euklidiskt universum.
Först ut i Sverige var vad jag kan se Vetenskapsnytt. Malin och hennes kommentatorer hade också länkar till engelska sidor som försökte förklara vad det hela gick ut på.
Först därefter reagerade dagspressen. Den första artikeln var inte lika utförlig som Vetenskapsnytts postning. Nu verkar SvD vilja ta igen det.
Idag publicerar de en ny artikel om E8, som är mer genomarbetad, mer pedagogisk och med ny information. Så ska det se ut.
För övrigt så går det inte att söka efter E8 på Knuff.se eftersom söksträngen måste vara minst tre tecken. Men jag tror inte att jag hade hittat så mycket. Det går ju att googla iofs.
