lite om liegrupper och sånt
En mångfald, manifold, är ett topologiskt rum som är lokalt euklidiskt. Dvs alla objekt som är lokalt platta men som globalt kan vara andra former, som t.ex runda, är mångfalder. Det euklidiska rummet är en mångfald, liksom cirkeln och sfären.
Begreppet släta mångfalder, smooth manifolds, skapades av Riemann, i mitten av 1800-talet. En slät struktur innebär kontinuitet, som de reella talen, men inte de naturliga.
En slät mångfald är lokalt euklidisk, ungefär som jordklotet lokalt är platt, och liealgebra ersätter den globala "gruppen" med en lokal, linjär version, vilket gör det hela hanterbart.
Liegrupper är grupper som också är släta mångfalder, smooth manifolds. I ett ändligt, finit antal dimensioner. Så hilbertrymden som har ett infinit antal dimensioner är alltså ingen liegrupp. Däremot så är de reella talen en liegrupp, liksom enhetscirkeln.
Och denna smooth manifold är alltså sluten under en operation, för att få kallas grupp.
Groups innebär att man studerar förändringar inom en viss identitet, smooth manifold att dessa förändringar kan vara hur små som helst, och finit antal dimensioner innebär att detta inte tillhör den infinita matematiken.
Liegrupper visar sej vara mycket vanliga och finns i rikligt överallt inom matematiken och fysiken.
Euklides, Galilieis, Lorentz och Poincares symmetrigrupper är liegrupper.
Liegrupper är den bäst utvecklade teorin för kontinuerlig symmetri för matematiska objekt och strukturer vilket gör dem vanliga och oumbärliga inom matematik och fysik.
Liegrupper studerades först av Sophos Lie i slutet av 1800-talet. Han hade efter ett tag hjälp an Felix Klein som senare grundade erlangenprogrammet; ännu ett försök att hitta broar mellan olika delar av matematiken.
Lies tanke var att utveckla en teori om differentialekvationers symmetri som skulle klassifiera dem enligt gruppteori, liksom Galois hade gjort för algebraiska ekvationer.
Ungefär som geometriska former kan konstrueras matematiskt och studeras för sin egen skull så kan olika grupper och liegrupper konstrueras matematiskt och studeras för sin egen skull.
När liegrupper blir för stora så går de att dela upp i mindre liegrupper och liegrupper kan därför inte bli hur stora som helst, men de kan bli mycket stora. Exempel på gigantiska liegrupper är E8 och monstergruppen. E8 upptäcktes i slutet av 1800-talet.
E8 har nånting att göra med att packa bollar i åtta dimensioner på tätast möjliga sätt. Varje boll nuddar vid 240 andra bollar. Hela uträkningen av E8 är 60 gigabyte data vilket är ungefär i storleksordningen av en biblioteksvåning.
Herman Weyl jobbade med liegrupper inom fysiken under 1920 och 30-talen.
Eugene Wigner upptäckte så under 1930-talet en naturlig koppling mellan partikelfysik och representationsteori. Representationsteori handlar om linjära projektioner av t.ex grupper på vektorrum. Varje kvantpartikel ses som en representation av universums symmetrigrupp i hilbertrymden. Detta kan bl.a ge en matematisk "förklaring" till hel- och halvspinn. Representationsteori är ännu ett sånt där ämne som visar sej överallt inom matematiken och på många ställen inom fysiken också. Det finns representationsteori för Galilei, Lorentz och Poincarégrupperna.
Standardmodellen skapades bl.a utifrån Weyl och Wigners formuleringar. Liegrupperna SU(2) och SU(3) låg till grund för elektroweak interaction och quantum chromodynamics.
Group Field Theory är en quantum gravity teori som kombinerar en liegrupp med feynmandiagram och är nära besläktad med loop quantum gravity, casual dynamic triangulation och spin foam.
E8 har hittat användning inom strängteori och supergravitation. E8xE8 är en av de heterotiska strängteorierna.
E.S.T.E. är en utomakademisk TOE som akademikerna hittills har varit distanserade till trots att den håller hög matematisk nivå.
Monstergruppen har något att göra med att packa bollar i 24 dimensioner på tätast möjliga sätt. Den förutspåddes 1973 och konstruerades 1982.
1978 upptäcktes samband mellan monstergruppen och elliptiska modulära funktioner. Richard Boucherds bevisade monstrous moonshine förmodan 1998 och visade på djupa samband mellan elliptiska kurvor, monstergruppen och strängteori. Han använde sej av "no ghost"-teoremet från strängteori.
På ett ställe läste jag att monstergruppen har fler element än det finns atomer i Jupiter, på ett annat att den har fler element än det finns kvarkar i Solen. I vilket fall som helst så är det en skitstor grupp.
Såväl E8 som monstergruppen är avvikelser. Lite grann som primtal (och monstergruppen upptäcktes också via primtal.)
Många av undantagen inom matematik och fysik har visat sej ha förbindelser med varandra. E8 är förbunden med monstergruppen via modulära former, och bägge dessa har sina förbindelser med fysik.